Kommutátor (csoportelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematika csoportelmélet nevű ágában egy csoport két elemének kommutátora az csoportelem. Az elnevezést az indokolja, hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét: . Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással, ha a kommutátoruk a csoport egységeleme. Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor.[1]

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.[1]

Kommutátor-részcsoport[szerkesztés]

A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot, mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor. Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról. Ezt a csoportot kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük, és hagyományosan -vel jelöljük.[1][2]

A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.[1] Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve, az általuk generált részcsoport is az, tehát normálosztó -ben.

A faktorcsoport kommutatív, mi több, a legszűkebb olyan csoport, amely ezzel a tulajdonsággal bír: Más szóval, ha kommutatív, akkor szükségképpen .[2]

akkor és csak akkor a triviális csoport, ha kommutatív, hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az 1, és viszont, ha triviális, akkor nincs nemtriviális kommutátor -ben, tehát a csoport kommutatív. A fentiekből következik, hogy egyszerű nemkommutatív csoportokra .[3]

Források[szerkesztés]

  1. ^ a b c d Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  2. ^ a b Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7 
  3. Todd Rowland: Commutator Subgroup. Wolfram Mathworld. (Hozzáférés: 2015. április 13.)

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]