Komplex konjugált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

komplex szám (ahol és valós számok) konjugáltja

A komplex konjugáltat időnként -gal jelölik. A továbbiakban a jelölés lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot -es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordinátarendszerben az -tengely tartalmazza a valós számokat, az -tengely pedig az többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az konjugáltja . Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az alábbi tulajdonságok minden és komplex számra igazak:

, ha nem nulla
akkor és csakis akkor, ha valós
, ha nem nulla

Ha valós együtthatós polinom, és , akkor is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a testbővítés Galois-csoportjának eleme. -nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás[szerkesztés]

Általában, egy test feletti algebrai elem konjugáltjainak kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

Ha algebrai felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

ahol . A felbontási test -et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az leképezések segítségével ().