Euler-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Euler's formula.svg

Az Euler-képlet a komplex matematikai analízis egy formulája, mely megmutatja, hogy szoros kapcsolat van a szögfüggvények és a komplex exponenciális függvény között. A képletet Leonhard Eulerről nevezték el. (Az Euler-összefüggés az Euler-képlet egy speciális esete.)

Az Euler-képlet azt állítja, hogy minden valós x számra igaz:

ahol

az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja (=2,71828 …)
az imaginárius egység

Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.[1]

Története[szerkesztés]

Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:

(ahol "ln" a természetes alapú logaritmust jelenti, vagyis az e alapú logaritmust).[2]

Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.

Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontjaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.

Alkalmazás a komplex számok elméletében[szerkesztés]

A képlet úgy interpretálható, hogy az eix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).

Az eredeti bizonyítás az ez exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).

Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komplex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:

ahol

a valós rész,
a képzetes rész
pedig z abszolút értéke,

és , a z– argumentuma, a szög az x tengely és a z vektor között. A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.

Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:

és

mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:

minden -ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:

és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel többértékű.

Végül a másik exponenciális összefüggés:

melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a De Moivre-képlet.

Kapcsolata a trigonometriával[szerkesztés]

Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz és koszinusz függvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:

Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával

majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.

Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:

Más alkalmazások[szerkesztés]

Differenciálegyenleteknél az eix függvényt gyakran a deriválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különösen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.

Az elektrotechnikában és más területeken az időben periodikusan változó jeleket gyakran a szinusz és koszinusz függvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények valós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.

Bizonyítások[szerkesztés]

Taylor-sor felhasználásával[szerkesztés]

A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:

és így tovább. Az ex, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy x valós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:

Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:

A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.

Deriválás felhasználásával[szerkesztés]

Definiáljuk a függvényt a következőképpen:

Ez lehetséges, mivel az

egyenlet magában foglalja, hogy sohasem zéró.

Az deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:

Ennélfogva az -nek konstans függvénynek kell lennie. Így

Átrendezve:

Q.E.D.

Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával[szerkesztés]

Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:

Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja

mivel definíció szerint i 2 = ‒1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:

vagy

Ezt a differenciálegyenletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:

Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:

tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:

.

Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:

kifejezhető az állandók értéke:

és végül:

Q.E.D.

Hivatkozások[szerkesztés]

  1. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Mai fizika, 2., Relativisztikus mechanika. Forgó- és rezgőmozgás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985, 88.old.
  2. John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer (2002) 

További információk[szerkesztés]