Euler-összefüggés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában Euler-összefüggésnek nevezik a következő egyenlőséget:

ahol

e az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja,
i az imaginárius egység, amelyre igaz az i2 = −1 egyenlőség,
Pi a szám, a kör kerületének és átmérőjének aránya.

A fenti összefüggést Leonhard Euler svájci matematikusról nevezték el.

Levezetése[szerkesztés]

Az formula segítségével könnyen Taylor-sorba fejthetjük -t!

A és a függvények Taylor-sora pedig

illetve

Vegyük észre, hogy felbontható az alábbi módon:

Azaz

speciálisan -re kapjuk a nevezetes

egyenlőséget.