Euler-féle szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-féle szám (jele: e) egy matematikai állandó, amit a természetes logaritmus alapjaként használnak. Irracionális és transzcendens szám. Értéke 30 értékes jegyre megadva:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35…

A π és a képzetes egység i mellett e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmusfüggvény megalkotójának tiszteletére.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az e néhány ekvivalens definíciója:

  • Az e a következő sorozat határértéke:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots
ahol n! a faktoriálisa az n természetes számnak.
  • Az e az a pozitív valós szám, amelyre
\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t = {1}.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ex exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

\left(e^x\right)'=e^x és
\int e^x\,dx=e^x + C, ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlenszerűen fordulnak elő. Szerepel az Euler-képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,\!

Az x = \pi speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:

e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!

amit Richard Feynman Euler drágakövének nevez.

Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, …]

e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:

e^x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

Minden valós x számra teljesül az

1+x\leq e^x

egyenlőtlenség.

Ezt egy pozitív valós x esetén \frac{x-e}{e}-re alkalmazva

1+\frac{x-e}{e}\leq e^{\frac{x-e}{e}}

azaz átrendezve és egyszerűsítve

x\leq e^{\frac{x}{e}},

azaz \sqrt[x]{x}\leq \sqrt[e]{e}, más szóval pozitív x-re az \sqrt[x]{x} függvény x=e-re éri el maximumát.

A logaritmusokra vonatkozó azonosságok alapján:

e = \frac{{10}^\log{a}} {\ln{a}}.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

John Napier logaritmusról írt művében jelentek meg az első utalások az e számra 1618-ban. A függelék nem adott közelítést magára a számra, de tartalmazott egy táblázatot a természetes logaritmusról. Ezt a táblázatot feltehetően William Oughtred készítette. Az e jelölést elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

A szám első ismert alkalmazása Gottfried Wilhelm Leibniz és Christiaan Huygens levelezésében jelent meg 1690-ben és 1691-ben, ahol is b-vel jelölték. Elsőként Leonhard Euler használta az e betűt 1727-ben, és az 1736-ban megjelent Mechanicában. Egyes kutatók az ezt követő években a c betűt használták, de végül az e terjedt el.

Az e betű választásának okai ismeretlenek, de egyes elméletek szerint az exponenciális szó első betűjéből ered. Egy másik elgondolás szerint ez az első magánhangzó az a után, amivel Euler egy másik számot jelölt. Ez az elgondolás nem magyarázza meg, hogy Euler miért használta ezeket a magánhangzókat. Nem valószínű, hogy a saját nevének kezdőbetűjét használta volna, hiszen nagyon szerény volt, és mindig megadta a mások munkáinak a kellő tiszteletet.[1]

Matematikán kívüli használata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az e az egyik leghíresebb matematikai konstans, ezért a matematikán kívül is népszerű. Néhány példa:

  • 2004-ben az IPO (a Google leányvállalata) 2 718 281 828 dolláros növekedést akart.
  • Donald Knuth a METAFONT verziószámait úgy állapította meg, hogy azok az e számot közelítsék. Így a verziószámok 2, 2.7, 2.71, 2.718, …
  • Szintén a Google tehet egy rejtélyes hirdetőtábláról [1] amely először a Szilícium-völgyben, majd a Massachusetts állambeli Cambridge-ben jelent meg, amely így szólt {az első tízjegyű prímszám amely az e egymást követő számjegyeiben található}.com. Aki megoldotta a feladatot és meglátogatta a megjelölt weblapot egy sokkal nehezebb megfejtendő feladatot talált. (Az első tízjegyű prímszám, amely az e számjegyeiben előfordul, a 7427466391, amely meglepő módon csak a 101-ik számjegynél kezdődik.) [2]
  • A neper (Np) mértékegység, ami két szám arányát adja meg, e alapú logaritmust használ (ellentétben a decibel 10-es alapjával). Felhasználása: nyomás, térerősség, jelszint, stb.[2]

 A = \log_e \frac{U_2}{U_1}\ [Np]  ;  A = \frac{1}{2} \cdot \log_e \frac{P_2}{P_1}\ [Np]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
  • O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "Az e szám"; University of St Andrews Scotland (2001)
  • O'Connor: "The number e"

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]