e irracionálisságának bizonyítása

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


Az Euler-féle szám, más néven e szám irracionális. A jelen cikk erre az állításra ad három bizonyítást.

Joseph Fourier (1768 – 1830), francia matematikus bizonyítása az ellentmondáson alapul. Az e felírható numerikus sorok segítségével:

Ez az e szám Taylor-sorba fejtése az exponenciális függvény szerint, ahol a kitevő =1. Feltételezzük, hogy e egy racionális szám, a/b formában. Ekkor létezik egy pozitív a és b, és így a e = a/b, ahol b > 1. Definiáljunk egy számot:

Ha e racionális, akkor x egész szám, helyettesítsük be e = a/b –t ebbe a definícióba:

Az első kifejezés egész, és a szumma minden tagja is egész szám, mert n ≤ b. Ezért x maga is egész szám. Most bebizonyítjuk, hogy 0 < x < 1. Először azt bizonyítjuk be, hogy x szigorúan pozitív: Behelyettesítjük a fenti sorba e kifejezést az x definíciójába:

mivel minden tényezőre igaz, hogy n ≤ b, mind kiesik, csak egy marad , mely pozitív. Most bebizonyítjuk, hogy x < 1. Minden tényezőnél, ahol nb + 1 kapjuk:

Ez az egyenlőtlenség minden n ≥ b + 2.-re igaz. A szumma indexét kicserélve k = n – b, és a végtelen mértani sor képletét használva, kapjuk:

Mivel nincs 0 és 1 között egész szám, kaptunk egy ellentmondást, és így az e-nek irracionálisnak kell lennie. Q.E.D.[1]

Egy másik bizonyítás szerint[2]: Az előzőekből kiindulva:

Ez az egyenlőtlenség ekvivalens azzal, hogy b.x < 1. Ez viszont lehetetlen, mert b' és x természetes számok.

A harmadik bizonyítás egy némileg általánosabb lemmán alapszik.

  • Az integrál additív halmazfüggvény, vagyis diszjunkt szakaszokon integrálva és ezeket összegezve az egész szakaszon vett integrált kapjuk:
I, J diszjunkt.
f és g folytonosan differenciálható.
  • Ha g és h valós polinomok, és tetszőleges valós a számra
akkor g és h is azonosan nulla.
  • minden valós c számra.
  • Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy
Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.

Lemma[szerkesztés]

A tétel bizonyításához szükség van erre a lemmára:

Lemma: Minden erősen approximálható valós szám irracionális.

Bizonyítás:

Tegyük fel indirekt, hogy α racionális, vagyis vannak p és q egészek, hogy :

Ekkor -hoz is vannak δ, u, v számok. Behelyettesítve és átrendezve

A pu-vq szám egész kell, hogy legyen, de nem egész szám. Ellentmondás.

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

A lemma miatt elég azt belátni, hogy az e szám erősen approximálható.

Az e számot a sorral közelítjük. Ha a sor n-edik tagját An jelöli, akkor

Legyen most az ε pozitív szám tetszőleges! Ekkor választhatunk hozzá egy n egész számot, hogy , átrendezve . Továbbá teljesüljön u = n! és v = Ann!. Ekkor

Ebből azonnal látszik, hogy e erősen approximálható, hiszen .[3][4]

Források[szerkesztés]

  1. Aigner, Martin, Günter M. Ziegler. Bizonyítások a Könyvből (magyar nyelven). Budapest: Typotex Kiadó. ISBN 963-9548-00-6 (2004) 
  2. MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987), "An elementary proof that e is irrational", The Mathematical Gazette (London: Mathematical Association) 71 (457): 217
  3. Szeged
  4. Freud-Gyarmati: Számelmélet