Numerikus sorok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17. században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Alapvető fogalmak[szerkesztés]

Ha (xn) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (xn) számsorozatból képezett soron) az

rendezett párt értjük, ahol

az (xn) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (xn)-ből képezett sor jelölésére a

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az xn számot a sor n-edik tagjának nevezzük. xn az sn összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (xn) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük:

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (sn) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(xn) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (sn) sorozata konvergens. Ha ∑(xn) konvergens, akkor az (sn) határértékét a ∑(xn) sor összegének nevezzük és a

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(xn) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

és

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

és

Konvergenciakritériumok[szerkesztés]

Cauchy-konvergenciakritérium[szerkesztés]

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

  1. ∑(an) végtelen sor konvergens

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

.

Szükséges kritérium[szerkesztés]

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(an) sor konvergens, akkor an 0.

Ugyanis, legyen a sor összege AR és a ∑(an) részletösszegeinek sorozata (sn). Mivel (sn-1) részsorozata a konvergens (sn)-nek ezért:

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

.

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

Egy másik jellegzetes példa. A

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkópikus összeg és

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Végtelen sorok és műveletek[szerkesztés]

Állítás: Ha a végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden -re a sor is konvergens, és az összege .

Bizonyítás:Ha a sor n-edik részletösszege , akkor a sor n-edik részletösszege . Így az állítás abból következik, hogy

Állítás: Ha a és sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei illetve , akkor a sor n-edik részletösszegei . Így az állítás következik abból, hogy .

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a sor tagjai közül az tagot elhagyjuk. Ekkor esetén az új sor n-edik részletösszege lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata -hoz tart. Ha viszont a sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részletösszege lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a végtelen sor a és sorok összefésülése, ha a sorozat az és tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az , illetve tagok sorrendje a sorozatban ugyanaz, mint az illetve sorozatban.

Állítás: Ha a és sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

Abszolút és feltételes konvergencia[szerkesztés]

A végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden >0-hoz van olyan N, hogy teljesül minden -re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint is teljesül, tehát a sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a a sor egy átrendezettje. Adott >0-hoz válasszunk egy olyan N-et, hogy teljesüljön minden m>N-re. Az tagok mind szerepelnek a sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a tagoknak az sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az tagok között. Így . Ebből következik, hogy a sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen és . Adott >0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a különbségében minden tag kiesik, tehát olyan alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re Ezzel beláttuk, hogy . Azonban , tehát A=B.

A végtelen sort feltételesen konvergesnek nevezzük, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

Lásd még[szerkesztés]

Irodalom[szerkesztés]