Numerikus sorok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots

1-1+1-1+1-\dots

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\dots

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17.században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Alapvető fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (xn) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (xn) számsorozatból képezett soron) az

((x_n),(s_n))\,

rendezett párt értjük, ahol

s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k=x_1+x_2+...+x_n

az (xn) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (xn)-ből képezett sor jelölésére a

\sum(x_n)\,

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az xn számot a sor n-edik tagjának nevezzük. xn az sn összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (xn) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük: s_n=\sum\limits_{k=m}^{n}x_k

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (sn) részletösszegsorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(xn) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (sn) sorozata konvergens. Ha ∑(xn) konvergens, akkor az (sn) határértékét a ∑(xn) sor összegének nevezzük és a

\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\,

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(xn) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott {\sum\limits_{n=m}^{\infty} x_n}\, sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

\sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n\, és \sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n\,

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}\, és \sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}

Konvergenciakritériumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Cauchy-konvergenciakritérium[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvegenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

  1. ∑(an) végtelen sor konvergens
  2. \forall \varepsilon>0\quad\exists N\in\mathbf{Z}^+\quad \forall n,m\in\mathbf{Z}^+: \quad n>m>N\quad\Rightarrow\quad \left|\sum\limits_{k=m}^n a_k\right|<\varepsilon\,

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

s_{n+k}-s_n=\sum_{i=n+1}^{n+k} a_i.

Szükséges kritérium[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(an) sor konvergens, akkor an \to 0.

Ugyanis, legyen a sor összege AR és a ∑(an) részletösszegeinek sorozata (sn). Mivel (sn-1) részsorozata a konvergens (sn)-nek ezért:

a_n=s_n-s_{n-1}\,

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

a_n \to A-A=0\,.

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

\sum_{(1)}\left(\frac{1}{n}\right)

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N' + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

\left|\sum\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\right|=\sum\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{1}{k}\geq
\sum\limits_{k=N+1}^{2N}\frac{1}{2N}=\frac{N}{2N}=\frac{1}{2}=\varepsilon\,

Egy másik jellegzetes példa. A

\sum_{(0)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkópikus összeg és

\sum_{k=0}^{n-1} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n-1}-\sqrt{n-2}=
=-\sqrt{0}+\sqrt{n-1}=0+\sqrt{n-1} \to \infty

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Végtelen sorok és műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Állítás: Ha a \sum_{n=1}^{\infty} a_n végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden c \in \mathbb{R}-re a \sum_{n=1}^{\infty} c\cdot a_n sor is konvergens, és az összege c\cdot A.

Bizonyítás:Ha a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor n-edik részletösszege s_n, akkor a \sum_{n=1}^{\infty} c\cdot a_n sor n-edik részletösszege c \cdot s_n. Így az állítás abból következik, hogy \lim_{n \to \infty} c \cdot s_n=c \cdot \lim_{n \to \infty} s_n=c \cdot A

Állítás: Ha a \sum_{n=1}^{\infty} a_n és \sum_{n=1}^{\infty} b_n sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei s_n illetve t_n, akkor a \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) sor n-edik részletösszegei s_n+t_n. Így az állítás következik abból, hogy \lim_{n \to \infty} (s_n+t_n)=\lim_{n \to \infty} s_n + \lim_{n \to \infty} t_n=A+B.

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor tagjai közül az a_k tagot elhagyjuk. Ekkor n \ge k esetén az új sor n-edik részletösszege s_n-a_k lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A-a_k-hoz tart. Ha viszont a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részltösszege s_n+c lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} c_n végtelen sor a \sum_{n=1}^{\infty} a_n és \sum_{n=1}^{\infty} b_n sorok összefésülése, ha a c_n sorozat az a_n és b_n tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az a_n, illetve b_n tagok sorrendje a (c_n) sorozatban ugyanaz, mint az (a_n) illetve (b_n) sorozatban.

Állítás: Ha a \sum_{n=1}^{\infty} a_n és \sum_{n=1}^{\infty} b_n sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

Abszolút és feltételes konvergencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \sum_{n=1}^{\infty} a_n végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha \sum_{n=1}^{\infty} a_n abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden \varepsilon>0-hoz van olyan N, hogy |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon teljesül minden N\le n <m-re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m|\le |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon is teljesül, tehát a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a \sum_{n=1}^{\infty} b_n a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor egy átrendezettje. Adott \varepsilon>0-hoz válaszzunk egy olyan N-et, hogy |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon teljesüljön minden m>N-re. Az a_1,\cdots,a_N tagok mind szerepelnek a \sum_{n=1}^{\infty} b_n sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a b_m,\cdots,b_k tagoknak az \sum_{n=1}^{\infty} a_n sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az a_N,\cdots,a_m tagok között. Így |b_{M}|+|b_{M+1}|+\cdots+|b_k|\le |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon. Ebből következik, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} |b_n| sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} b_n sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen \sum_{n=1}^{\infty} a_n=A és \sum_{n=1}^{\infty} b_n=B. Adott \varepsilon>0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a d_k=(a_1+\cdots+a_k)-(b_1+\cdots+b_k) különbségében minden a_n (n\le N) tag kiesik, tehát d_k olyan \pm a_n alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re |d_k|\le |a_{N}|+|a_{N+1}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon Ezzel beláttuk, hogy \lim_{k \to \infty} d_k=0. Azonban \lim_{k \to \infty} d_k=A-B, tehát A=B.

A \sum_{n=1}^{\infty} a_n végtelen sort feltételesen konvergesnek nevezzük, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]