Harmonikus sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában harmonikus sornak nevezzük a divergens sort.

Jelentősége[szerkesztés]

Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy h hullámhosszú hang felhangjának a hullámhosszai h/n (n=2,3,...). A

sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.

Konkrétan h/2,h/3,...,h/8 rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.

A divergencia bizonyítása[szerkesztés]

Ha a sor n-edik részletösszege sn, akkor

minden n-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege A. Ekkor esetén , ami lehetetlen.

Következmények[szerkesztés]

Végtelen sok prímszám létezik[szerkesztés]

Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek . Minden i-re és N-re fennállnak az

összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy

minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb N (hiszen az indirekt feltevés szerint nincs más prím -n kívül). Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

.

Ez azonban lehetetlen, hiszen

, ha .

A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens[szerkesztés]

Az előző bizonyítást felhasználva, annak jelöléseit használva bizonyíthatjuk azt is, hogy a prímszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján

is fennáll minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első N prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb N. Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

.

Mivel , vehetjük a két oldal természetes alapú logaritmusát, és becsülhetjük a jobboldalon a tagokat -gyel:

Tehát ha , akkor , , továbbá .

Emiatt a sor divergens.

Forrás[szerkesztés]