Divergens sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy sorozat divergens, ha minden számhoz létezik olyan környezet, melyben minden küszöbindex után van egy olyan sorozatelem, mely nincs benne a környezetben. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens.

Matematikai definíciója[szerkesztés]

Metrikus terekben[szerkesztés]

metrikus tér

mely szerint tehát elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Számtestekben[szerkesztés]

számtest

mely szerint tehát elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

Példák[szerkesztés]

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1 minden páratlan eleme -1

ennek a sorozatnak nincs határértéke -ben.

Megjegyzések, tételek[szerkesztés]

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy an sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n0 küszöbszám, hogyha n > n0 akkor an > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.