Cauchy-sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
Egy Cauchy-sorozat ábrázolása
Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása

A Cauchy-sorozatok Augustin Cauchy-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben. Szemléletesen, egy sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha a sorozat elejét le tudjuk vágni úgy, hogy a maradék elemek tetszőlegesen közel legyenek egymáshoz.

Definíció valós számsorozatokra[szerkesztés]

Egy {x1,x2,x3,...} alakú, valós számokból álló sorozat akkor Cauchy-sorozat, ha minden pozitív valós ε-hoz találunk olyan N egész számot, hogy az N-nél nagyobb indexű elemek közül bármely kettő közti távolság kisebb, mint ε.





A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.

Példák:

  1. Az xn=1/n, n=1,2,3,...sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott ε-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor

          

A fenti jelölésben [x] az x valós szám egész részét jelöli. A fenti N küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen .

  1. Legyen . Megmutatjuk, hogy {xn} Cauchy-sorozat. Most is legyen 0<ε tetszőlegesen adva, valamint n>m. Ekkor

          

Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {xn} valójában nem más, mint a sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.

Definíció metrikus terekre[szerkesztés]

A fenti definíció általánosítható úgy, hogy minden térben, ahol a távolság fogalma megfelelően értelmezett (azaz metrikus terekben), a Cauchy-sorozatok fogalma is értelmezett legyen.

Legyen metrikus tér. Ekkor az sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden -hoz van olyan , hogy minden esetén .

Nevezetes átfogalmazás: az sorozat Cauchy-sorozat akkor és csak akkor, ha bármely -hoz található olyan küszöbszám, hogy a sorozat minden -nél nagyobb indexű tagja benne van az elem sugarú környezetében. Ez formálisan így néz ki:

Az ekvivalencia bizonyítása: Legyen Cauchy-sorozat, és válasszunk egy számot. Így van olyan szám, hogy minden esetén . , így minden esetén .

Visszafele: legyen most sorozat olyan, hogy teljesíti az átfogalmazásban leírt feltételt. Válasszunk számot. Eszereint van olyan , hogy minden esetén . Legyen , így a háromszög-egyenlőtlenség szerint: vagyis a sorozat valóban Cauchy-sorozat.

Kapcsolódó definíciók[szerkesztés]

Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha abban minden Cauchy-sorozat konvergens.

Példák[szerkesztés]

A valós számok a szokásos metrikát tekintve teljes metrikus teret alkotnak, azaz a számegyenesen minden Cauchy-sorozat konvergens.

Ezzel szemben ez nem igaz a racionális számokra. Ugyanis, ha tekintünk egy racionális számokból álló konvergens sorozatot, aminek a határértéke irracionális, akkor ennek a nyilván Cauchy-sorozatnak nincs határértéke a racionális számok körében.

Például:

  • A következőképp definiált sorozat x0 = 1, xn+1 = (xn + 2/xn)/2 racionális számokból áll (1, 3/2, 17/12,…), mely a definícióból nyilvánvaló; mégis az irracionális értékhez tart (Newton-módszer).

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden Cauchy-sorozat korlátos.
  • Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.

Források[szerkesztés]