Normális szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Normális szám a k pozitív egész számhoz viszonyítva olyan valós szám, amelynek k-adostört (pl. tizedestört) alakjának számjegyei a végtelenségig véletlenszerűen váltakoznak. A racionális számok e laza megfogalmazás szerint nem tűnnek normálisnak, hiszen számjegyeik vagy végtelen sok nullával fejeződnek be, vagy egy megadott mintázat szerint ismétlődnek a végtelenségig.

A véletlenszerűség követelménye[szerkesztés]

A pontos definíció megadásához először tisztázni kell, hogy mit értsünk azon, hogy a számjegyek véletlenszerűek egy számban. Józan ésszel is belátható, hogy egy szám számjegyeit nem tekinthetjük véletlenszerűeknek azon az alapon, hogy egyenlő gyakorisággal fordulnak elő. Például: 0,123456789*0123456789* szabványos tizedestört alakban az a szám, amelyben a 0123456789 sorozat végtelen sokszor ismétlődik. A számjegyek egyenlő eloszlással szerepelnek, de nyilván nem véletlenszerűen követik egymást. Vegyünk most egy hosszúságú mintázatot. Ilyen mintázatot félét lehet alkotni a tízes számrendszerben. Ha ezek a mintázatok / relatív gyakorisággal találtatnak a szám számjegyei között és ez bármely mintázatra és bármely -ra igaz, akkor legalábbis a tízes számrendszert tekintve a számjegyek előfordulását véletlenszerűnek tekinthetjük. Ha ez minden számrendszerben igaz egy adott számra, akkor ezt a számot normális számnak nevezzük.

A normális szám definíciója[szerkesztés]

A pontos matematikai definíció a következő. Írjuk fel az számot a alapú számrendszerben és legyen egy a alapú számrendszer számjegyeiből alkotott hosszúságú mintázat (string). Fussunk végig az első számjegyén és jelölje az string előfordulásainak számát. Az számot a alapra nézve normálisnak nevezzük, ha minden -ra és -ra

normális, ha minden alapra nézve normális.

Rövid történeti áttekintés[szerkesztés]

A normális szám fogalmát Émile Borel 1909-ben vezette be. A Borel-Cantelli lemma segítségével bebizonyította, hogy (mértékelméleti értelemben) „majdnem minden valós szám normális”; azaz a nem normális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0. Wacław Sierpiński lengyel matematikus mutatott először konkrét példát normális számra.

A Copeland-Erdős szám[szerkesztés]

Példaként a 10-es számrendszerben normális számra álljon itt a Copeland-Erdős konstans:

0,235711131719232931374143…

mely a prímszámok egymásutáni leírásával adódik.

Forrás[szerkesztés]

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online verzió