Imaginárius egység

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza () kiterjeszthető a komplex számok halmazára (). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás[szerkesztés]

A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható. x2+1=0, vagy másképpen x2=-1.

Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.

A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0=x2+1) és i2 helyett -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai -i, 1 és i:

i3=i2i=-i,

i4=i3i=-ii=--1=1

i és -i[szerkesztés]

A egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve "pozitív i"-nek. Ez azért van mert, habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az két gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza -ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van -nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét

és

megoldása az :

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a "pozitív" körforgás "iránya" az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.

Pontos használat[szerkesztés]

Az imaginárius egység néha -ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:

. (hibás)

A

azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például helyett célszerűbb -t írni.

Az imaginárius egység négyzetgyöke[szerkesztés]

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

, amennyiben

Ez levezethető Euler formulájából:

és

ezért

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

ha x = π/4 in cis(x), akkor

Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:

i reciproka[szerkesztés]

i reciproka könnyedén kifejezhető:

Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:

i hatványai[szerkesztés]

i hatványai egy körben ismétlődnek:

Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:

Ebből következik, hogy:

ahol mod a modulus művelet.

i és Euler képlete[szerkesztés]

Euler képlete a következő:

,

ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:

és meg is kapjuk az elegáns Euler azonosságot:

Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.

Példa[szerkesztés]

x=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:

vagy, mindkettőt i hatványra emelve:

vagy

,

ami megmutatja, hogy ii-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:

ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.

Műveletek i-vel[szerkesztés]

Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Egy szám ni-edik hatványa:

.

Egy szám ni-edik gyöke:

Egy szám i alapú logaritmusa:

i koszinusza egy valós szám:

és i szinusza imaginárius:

Alternatív jelölések[szerkesztés]

  • Az elektronikában és a kapcsolódó területeken, az imaginárius egység gyakran -ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A Python is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az i-t és a j-t is használhatjuk.
  • Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek, melyek a j-t -i-ként definiálják.
  • Néhány szöveg a az ι-t használja az imaginárius egység jelölésére.