Másodfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy másodfokú függvény grafikonja:
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Azok a pontok, ahol a grafikon az x-tengelyt metszi, az x = -1 és x = 2, az x2 - x - 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldásai

A matematikában a másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán másodfokú polinom szerepel –, tehát a változó (x) legmagasabb hatványa a négyzet – a másik oldalán nulla (redukált alak). A másodfokú egyenlet általános kanonikus alakja tehát:

ax^2+bx+c=0\mbox{ , ahol }a\ne 0. \,

Az a\,\!, b\,\! és c\,\! betűket együtthatóknak nevezzük: a\,\! az x^2\,\! együtthatója, b\,\! az x\,\! együtthatója, és c\,\! a konstans együttható.

Megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós vagy komplex együtthatójú másodfokú egyenletnek két komplex gyöke van (x\,\! azon értékei, melyekre y = 0\,\!), amelyeket általában x_1\,\! és x_2\,\! jelöl, noha ezek akár egyezőek is lehetnek. A gyökök kiszámítására a másodfokú egyenlet megoldóképletét használjuk.

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

A másodfokú egyenlet megoldóképletében a gyökjel alatti részt az egyenlet diszkriminánsának nevezzük: D\ = b^2 - 4ac\,\!
Ha valós együtthatós az egyenlet, akkor D>0 esetén 2 valós, D=0 esetén egy valós (kettős gyök), D<0 esetén pedig 2 nem valós, komplex gyöke van.

A másodfokú egyenlet megoldóképletét a teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

ax^2+bx+c=0 \,\!

Elosztva a másodfokú egyenletet a\,\!-val (ami megengedett, mivel a\ne 0. \,)

x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0

ami átrendezve

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.

Az egyenletnek ebben a formájában a baloldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely x^2+2xy+y^2\,\! alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel 2xy\,\! ebben az esetben \frac{b}{a} x , ezért y = \frac{b}{2a}, így \frac{b}{2a} négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.

A bal oldal most \left(x + \frac{b}{2a}\right) teljes négyzete. A jobboldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező 4a^2\,\!.

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Négyzetgyököt vonva mindkét oldalból

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{|2a|}\Leftrightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Kivonva \frac{b}{2a}-t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.

Szélsőérték helye: -b/2a

Ha a diszkrimináns értéke negatív, a következőképpen kell számolni:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\left(-1\right)\left(4ac-b^2\right)\ }}{2a}
=-\frac{b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{4ac-b^2\ }}{2a}.

A megoldás ilyenkor egy komplex konjugált gyökpár lesz.

Viète-formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Viète-formulák egyszerű összefüggések a polinomok gyökei és együtthatói között. A másodfokú egyenlet esetében a következő formájúak:

 x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
 x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]