Másodfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy másodfokú függvény grafikonja:
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Azok a pontok, ahol a grafikon az x-tengelyt metszi, az x = -1 és x = 2, az x2 - x - 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldásai

A matematikában a másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán másodfokú polinom szerepel –, tehát a változó (x) legmagasabb hatványa a négyzet – a másik oldalán nulla (redukált alak). A másodfokú egyenlet általános kanonikus alakja tehát:

Az , és betűket együtthatóknak nevezzük: az együtthatója, az együtthatója, és a konstans együttható.

Megoldása[szerkesztés]

A valós vagy komplex együtthatójú másodfokú egyenletnek két komplex gyöke van ( azon értékei, melyekre ), amelyeket általában és jelöl, noha ezek akár egyezőek is lehetnek. A gyökök kiszámítására a másodfokú egyenlet megoldóképletét használjuk.

A másodfokú egyenlet megoldóképletében a gyökjel alatti részt az egyenlet diszkriminánsának nevezzük:
Ha valós együtthatós az egyenlet, akkor D>0 esetén 2 valós, D=0 esetén egy valós (kettős gyök), D<0 esetén pedig 2 nem valós, komplex gyöke van.

A másodfokú egyenlet megoldóképletét a teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

Elosztva a másodfokú egyenletet -val (ami megengedett, mivel )

ami átrendezve

Az egyenletnek ebben a formájában a bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel ebben az esetben , ezért , így négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy

A bal oldal most teljes négyzete. A jobb oldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező .

Négyzetgyököt vonva mindkét oldalból

Kivonva -t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:

Szélsőérték helye:

Ha a diszkrimináns értéke negatív, a következőképpen kell számolni:

A megoldás ilyenkor egy komplex konjugált gyökpár lesz.

Viète-formulák[szerkesztés]

A Viète-formulák egyszerű összefüggések a polinomok gyökei és együtthatói között. A másodfokú egyenlet esetében a következő formájúak:

Források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]