Szélsőérték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.

Valós függvény szélsőrtéke[szerkesztés]

Globális szélsőérték[szerkesztés]

Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.

Pl.: a függvény maximuma az 1, amit az helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az helyeken vesz fel.

Weierstrass-tétel[szerkesztés]

Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.

Lokális szélsőérték[szerkesztés]

y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.

Pl.: lokális minimuma 0 a 0 helyen.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele[szerkesztés]

Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol .

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele[szerkesztés]

Legyen -edik deriváltja egy környezetében folytonos, és , továbbá . Ekkor helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha , minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.

Bizonyítás[szerkesztés]

A Taylor-formula szerint minden pontjához létezik olyan , hogy

, azaz

Legyen , ekkor folytonossága miatt létezik olyan , hogy minden -ra . Tegyük fel, hogy páros, , és , ekkor

, azaz , következésképp -nek helyen lokális minimuma van. Ha páratlan, akkor, ha , akkor , ha viszont , akkor így helyen a függvénynek nincs szélsőértéke. esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.