Weierstrass-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Weierstrass-tétel a matematikában az analízis egyik legfontosabb, alapvető tétele. Az egyváltozós valós függvények esetén a legtöbbször alkalmazott alakja az, hogy korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma. A tétel tetszőleges korlátos és zárt, azaz kompakt halmazra is érvényes amennyiben Rn-ben maradunk. Általában, Hausdorff-féle topologikus terekben (ahol a korlátos és zárt feltételegyüttes nem esik egybe a kompaktsági kitétellel) a tétel kompakt halmazokra érvényes.[1]

A tétel[szerkesztés]

Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Tehát, ha korlátos és zárt és  : R folytonos függvény, akkor létezik olyan , , hogy minden -re .

Bizonyítás sorozatkompaktsággal[szerkesztés]

Bolzano–Weierstrass-tétellel[szerkesztés]

Belátjuk, hogy ( ) sorozatkompakt, amiből a Bolzano–Weierstrass-tétel közvetlen következményeként adódik, hogy ( ) korlátos és zárt.

Legyen () egy ( )-ben haladó sorozat. Belátjuk, hogy van olyan konvergens részsorozata, melynek határértéke szintén ( ) beli. Minden természetes számra

így a kiválasztási axióma miatt létezik olyan () sorozat, mely -ben halad és minden természetes számra = . A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor ()-nek létezik konvergens () részsorozata, melynek határértéke az -beli szám. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján ekkor az ( () ) sorozat, mely az () részsorozata, konvergens és határértéke az ( )-beli szám.

A Bolzano–Darboux-tételből tudjuk, hogy értékkészlete intervallum. Az előbb beláttuk, hogy ez korlátos és zárt. Mivel így min ( ) ∈ ( ) és max ( ) ∈ ( ), azaz a függvény felveszi értékkészletének végpontjait, ezért léteznek olyan és -beli számok, hogy

és

Így az állítást beláttuk.

További bizonyítások[szerkesztés]

A tétel efféle bizonyítása két lépésben zajlik. Belátjuk, hogy a korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos függvény

  1. korlátos – ez a korlátosság tétele
  2. felveszi minimumát és maximumát – ez a szélsőérték tétele vagy a szűkebb értelemben vett Weierstrass-tétel.

Mindkét lemmát többféleképpen is igazolhatjuk.

1. A korlátosság igazolása[szerkesztés]

Heine–Borel-tétellel[szerkesztés]

Belátjuk, hogy korlátos. A folytonosság definíciója miatt minden ε-hoz, például :ε=1-hez és minden x-hez létezik olyan δx pozitív szám, hogy minden -re, amennyiben < δx, akkor < ε.

Vegyük minden -beli pontnak a δx sugarú nyílt környezetét. Ez a nyílt halmaz rendszer lefedi -t így a Borel–Lebesgue-tétel miatt ezek közül már véges sok is lefedi -t. Legyen ez az

véges intervallumrendszer. Az számok között van legkisebb és legnagyobb, legyen ez rendre és . Minden -re létezik i, hogy xIi, így

tehát korlátos.

A felsőhatár axiómával[szerkesztés]

Legyen H a következő halmaz:

H nem üres, mert aH, és felülről korlátos, mert lefedi, így a felsőhatár axióma és [a,b] zártsága miatt létezik sup H ∈ [a,b]. Legyen az a h szám. Állítjuk, hogy h = b. Ha ugyanis h < b állna, akkor minden ξ ∈ [a,b]-re, melyre h < ξ teljesül [a,ξ]-ben f már nem lenne korlátos. Azonban f a h-ban is folytonos, így a h egy alkalmas δ sugarú környezetében korlátos, így [a , h - δ]-ban és [h - δ , h + δ]-ban is, amiből következik, hogy az unióban, [a , h + δ]-ban is, ami ellentmond annak, hogy h a H szuprémuma, hiszen a nála nagyobb h + δ is elem H-nak.

2. A szélsőértéktétel[szerkesztés]

Az értékkészlet szuprémumtulajdonságával[szerkesztés]

Belátjuk, hogy felveszi a szuprémumát és infimumát. Nemüres, korlátos valós részhalmaznak van alsó és felső határa. Legyen értékkészletének felső határa . Ekkor minden -re

Ha nem lenne , hogy = , akkor a

függvény értelmezve lenne a teljes -n. folytonos, mert a folytonosságot megőrző függvényműveletekkel lett -ből elkészítve, de nem korlátos, ami az előző szakasz miatt ellentmondást ad. Minthogy ugyanis a szuprémum, minden ε pozitív számra létezik , hogy - ε < , de ekkor g(x) > 1/ε, azaz minden határon túl nő.

Következmény[szerkesztés]

A Bolzano–Darboux-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel felhasználásával tehát a Weierstrass-tételt a következő formában is kimondhatjuk:

Tétel – Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény képe kompakt.

Ezt néha Weierstrass második tételének is nevezik és ez esetben az előző állítás az első számú.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 88-89.old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8

További információk[szerkesztés]