Casorati–Weierstrass-tétel

A komplex analízisben a Casorati–Weierstrass-tétel holomorf függvények viselkedését írja le lényeges szingularitásuk környékén. Karl Weierstrass és Felice Casorati után nevezték el. Az orosz irodalomban Szokhotszkij tételeként emlegetik.

Formális állítás

Legyen U a komplex sík részhalmaza, benne a $z_{0}$ komplex számmal, ami az f függvény lényeges szingularitása, és f holomorf a $U\ \backslash \ \{z_{0}\}$ halmazon. Ekkor, ha V $z_{0}$ környezete U-ban, akkor $f(V\ \backslash \ \{z_{0}\})$ sűrű C-ben.

Egy másik megfogalmazásban:

Minden ε > 0, δ >0 valós számra és w komplex számhoz van z komplex szám U-ban, hogy |z − $z_{0}$| < δ és |f(z) − w| < ε .

Informálisan: az f függvény értéke bármely komplex értékhez tetszőlegesen közel kerül $z_{0}$ tetszőleges környezetében.

A tételt a nagy Picard-tétel erősíti, ami kimondja, hogy f végtelenszer fel is veszi ezeket az értékeket, legfeljebb egy kivételével.

Ha f egészfüggvény és a=∞, akkor a tétel szerint f(z) megközelít minden komplex értéket és a végtelent, ha z tart a végtelenhez. Magasabb dimenzióban ez nem teljesül, ahogy azt Pierre Fatou példája mutatja.

Példák

Az exp(1/z) lényeges szingularitása nullában. A szín az érték komplex argumentumát, fényessége az abszolútértéket jelöli. A lényeges szingularitás különböző irányokból megközelítve különböző viselkedést mutat

Az f(z) = exp(1/z) függvénynek lényeges szingularitása van a 0 helyen, de a g(z) = 1/z³ függvénynek ugyanitt nem lényeges a szingularitása, háromrendű pólusa van.

Tekintsük a

$f(z)=e^{1/z}.$

függvényt! Ennek Laurent-sora a 0-nál levő lényeges szingularitás körül:

$f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{-n}.$

Mivel $f'(z)={\frac {-e^{\frac {1}{z}}}{z^{2}}}$ mindenütt létezik, ahol z ≠ 0, ƒ(z) analitikus z = 0 pontozott környezetében.

A $z=re^{i\theta }$ polárkoordinátákra áttérve az, ƒ(z) = e^1/z függvény a következő alakot veszi fel:

$f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta )}e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}.$

Mindkét oldal abszolútértékét véve

$\left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }\right|\left|e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }.$

Ezzel azokra a θ változókra, amelyekre cos θ > 0, teljesül, hogy $f(z)\rightarrow \infty$, ha $r\rightarrow 0$; és ha $\cos \theta <0$, $f(z)\rightarrow 0$, hogyha $r\rightarrow 0$.

Ha például z végigfut egy körön, aminek sugara 1/R, és érinti a képzetes tengelyt, akkor ez a r = (1/R) cos θ. Ekkor

$f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]$

és

$\left|f(z)\right|=e^{R}.$

Ekkor R megfelelő választása esetén $\left|f(z)\right|$ minden pozitív értéket felvesz (a nulla nem pozitív). Ha a kör mentén $z\rightarrow 0$, és R rögzített, akkor $\theta \rightarrow {\frac {\pi }{2}}$. Tehát az egyenletnek ez a része:

$\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]$

minden értéket végtelenszer sokszor felvesz az egységkörön. Tehát f(z) minden komplex számot végtelenszer sokszor felvesz, kivéve a nullát, amit kihagy.

Bizonyítás

Egy rövid bizonyítás:

Feltesszük, hogy f-nek z₀ lényeges szingularitása, valamint f meromorf z₀ egy V \ {z₀} környezetében. Tegyük fel indirekt, hogy van egy b érték, amit f nem közelít meg, azaz van komplex b és ε > 0 valós szám, hogy |f(z) − b| ≥ ε minden V-beli komplex számra, amire f értelmezve van.

Definiáljuk a $g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}$ függvényt, ez holomorf V \ {z₀}-ben, nullhelyei f pólusai, és korlátja 1/ε. A g függvény kiterjeszthető teljes V-re Riemann analitikus folytatás tételével. Az eredeti függvény kifejezhető g-vel, hiszen $f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b$ minden z-re V \ {z₀}-ben.

Ekkor a $\lim _{z\to z_{0}}g(z).$ határértékre két lehetőség adódik. Ha a határérték 0, akkor f-nek z₀-ban pólusa van. Ha nem 0, akkor z₀ megszüntethető szingularitás. Mindkét lehetőség ellentmond annak, hogy z₀ lényeges szingularitás. A feltevés hamis, a tétel tehát igaz.

Története

A tétel történetéről Collingwood és Lohwater írt. Weierstrass publikálta 1876-ban németül. Szokhotszkij pedig szakdolgozatában oroszul 1868-ban. Emiatt az orosz irodalom Szokhotszkij nevén ismeri. Casorati 1868-ban szintén megjelentette a tételt, ami Briot és Bouquet könyvének első, 1859-es kiadásában is szerepelt. A második kiadásból (1875) kihagyták.

Források

• Section 31, Theorem 2 (pp. 124–125) of Knopp, Konrad (1996), Theory of Functions, Dover Publications, ISBN 978-0-486-69219-7

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Casorati–Weierstrass theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.