Megszüntethető szingularitás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
Másodfokú függvény grafikonja (parabola) megszüntethető szingularitással az x = 2 helyen

A komplex analízisben egy holomorf függvény megszüntethető szingularitása egy pont, ahol a függvény nincs definiálva, de ki lehetne terjeszteni a függvényt úgy, hogy értelmezve legyen ebben a pontban, és reguláris maradjon.

Például a (nem normalizált) sinc függvénynek:

megszüntethető szingularitása van nullában, a megfelelő érték sinc(0) := 1. Ez a sinc függvény határértéke, ha változója, z tart a nullához. A kibővített függvény holomorf. A probléma abból fakadt, hogy a függvényt határozatlan formában adták meg. A hatványsora:

Formálisan, ha nyílt részhalmaza a komplex síknak, komplex szám -ban, és holomorf, akkor megszüntethető szingularitása, hogyha van egy függvény, ami megegyezik -fel ott, ahol az definiálva van. Azt mondjuk, hogy holomorf módon kiterjeszthető -ra, ha létezik ilyen függvény.

Riemann-tétel[szerkesztés]

Riemann tétele a megszüntethető szingularitásokról:

Legyen tartomány, és , továbbá holomorf függvény. Ekkor, ha van -nak egy környezete -ben úgy, hogy korlátos -ban, akkor egyértelműen van egy egészfüggvény, hogy . egyértelműségét a holomorf függvények identitástétele biztosítja.

Sőt, a tétel egy másik megfogalmazása:

Legyen a komplex sík nyílt részhalmaza, komplex szám -ben, és holomorf -ban. A következők ekvivalensek:

  1. kiterjeszthető holomorf módon -ra.
  2. folytonosan kiterjeszthető -ra.
  3. Van -nak környezete, ahol korlátos.
  4. .

A tétel megfordítása[szerkesztés]

A tétel megfordítása ez:

Ha holomorf függvény egy környezetében, és megszüntethető szingularitás, akkor korlátos egy környezetében.

A megfordítás a folytonosság következménye. Ez különbözteti meg a megszüntethető szingularitást a többi szingularitástól, a lényeges szingularitástól és a pólustól.

Alkalmazása[szerkesztés]

A tétel felhasználható további bizonyításokhoz. Például belátható vele, hogy nincs a pontozott komplex síkon holomorf négyzetgyök függvény. Formálisan, nincs olyan a halmazon holomorf függvény, amikre minden esetén.

Indirekt feltéve, hogy mégis, abszolútértékére ekkor teljesül . Eszerint korlátos egy környezetében, tehát a Riemann-tétel szerint kiterjeszthető teljes -re holomorf módon. Ez azt is jelenti, hogy itt folytonosan differenciálható, és deriváltja .

Az identitástétel miatt -nek és deriváltjának meg kell egyeznie -ban. Azonban itt a deriváltnak a 0-hoz közeledve minden határon túl kell nőnie, így a határérték nem létezhet: