Holomorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá.

Definíció[szerkesztés]

1. Definíció: Legyen adva az nyílt halmaz, és az leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden pontban létezik a következő határérték

.

Ezt a határértéket az f függvény z0-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z0)-lal jelöljük.

2. Definíció: holomorf, ha előáll pont -sugarú (alkalmasan választott -rel) környezetében a következő alakban:

ahol komplex szám (természetesen függ -tól), pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

Ekkor A=f'(z0).

3. Definíció: holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha két görbe, és , akkor

Példák[szerkesztés]

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a függvény.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt -vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha , akkor . Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

A koszinusz és szinusz szögfüggvények holomorfak a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

Ellenpéldák[szerkesztés]

  • Nem holomorf a konjugálás operátor:
  • Nem holomorf a valósrész-képzés operátor:

Tulajdonságok[szerkesztés]

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen és , azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér -ban. Ekkor ha holomorf az -ban, akkor létezik a körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen , és ott előállítja a függvényt.

Maximum elv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy Jordan-görbe, és legyen ennek a belseje. Tegyük fel, hogy két holomorf függvény, melyek folytonosak -n, valamint tegyük fel, hogy minden pontra fennáll: . Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van -ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.

Lásd még[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)