Holomorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Négyzetrács holomorf transzformációja. A holomorf függvények nem képezhetnek csak a valós számokra

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy függvény holomorf egy nyílt halmazon, ha minden pontjában komplex differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható. Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá.

Habár a definíció analóg a valós differenciálhatósággal, a komplex függvénytan megmutatja, hogy ez egy nagyon erős tulajdonság. Olyan jelenségeket produkál, amiknek a valósban nincs megfelelőjük. Ilyen például, hogy tetszőleges sokszor differenciálható, és a halmaz bármely pontja körül hatványsorba fejthető.

Definíció[szerkesztés]

1. Definíció: Legyen adva az nyílt halmaz, és az leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden pontban létezik a következő határérték

.

Ezt a határértéket az f függvény z0-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z0)-lal jelöljük.

2. Definíció: holomorf, ha előáll pont -sugarú (alkalmasan választott -rel) környezetében a következő alakban:

ahol komplex szám (természetesen függ -tól), pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

Ekkor .

3. Definíció: holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha két görbe, és , akkor

Példák[szerkesztés]

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a függvény. Általánosabban, a polinomok holomorfak a teljes komplex síkon.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt -vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha , akkor . Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

A koszinusz és szinusz szögfüggvények holomorfak a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

Hasonlóan a hiperbolikus függvények is holomorfak a teljes komplex síkon.

A törtracionális függvények holomorfak, kivéve a nevező gyökeit, ahol pólusaik vannak. Az egész komplex síkon meromorfak.

A logaritmusfüggvény ága az origóból felvágott komplex síkon. A főágat úgy választják, hogy a síkból a negatív félegyenest hagyják ki.

Ellenpéldák[szerkesztés]

Sehol sem holomorfak a következő függvények:

  • A konjugálás operátor:
  • A valósrész-képzés, illetve képzetesrész-képzés operátor:
  • Az abszolútérték:

A csak a 0 helyen komplex differenciálható, de itt sem holomorf, mivel ahhoz egy környezet is kellene. Általánosabban nem holomorfak azok a függvények, amelyeknek az összes értéke valós.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Ez lényeges különbség a valós differenciálhatósághoz képest. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen és , azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér -ban. Ekkor ha holomorf az -ban, akkor létezik a körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen , és ott előállítja a függvényt.

Maximumelv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy Jordan-görbe, és legyen ennek a belseje. Tegyük fel, hogy két holomorf függvény, melyek folytonosak -n, valamint tegyük fel, hogy minden pontra fennáll: . Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van -ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.

Cauchy integráltétele: Ha holomorf, egyszeresen összefüggő tartomány, és zárt Jordan-görbe, akkor

A tétel teljesül akkor is, ha csillagszerűen összefüggő, és zárt út.

Cauchy integrálképlete: Legyen közepű, sugarú nyílt körlap! Ha holomorf egy -nél szigorúan bővebb tartományon, akkor minden és esetén:

Tehát a határon felvett értékek meghatározzák a teljes függvényt bent is.

Az integrálképlet segítségével bizonyítható, hogy a holomorf tulajdonság ekvivalens a komplex analitikussággal. Azaz, ha egy függvény a komplex számban holomorf, akkor komplex analitikus, és megfordítva, ha komplex analitikus, akkor holomorf. A hatványsorok akárhányszor differenciálhatók, és tagonként differenciálhatók.

Az identitásképlet szerint nemcsak a határ határozza meg a holomorf függvényt, hanem minden olyan halmaz elemein felvett érték, aminek torlódási pontja a holomorf tartományba esik. Így egyes valós analitikus függvények egyértelműen kiterjeszthetők holomorf függvényekké.

Tartományhűség: Tartomány holomorf képe tartomány.

Weierstraß tétele: Ha a holomorf függvényekbőlé álló sorozat kompakt konvergál az tartományon az függvényhez, akkor újra holomorf, és a határértékképzés felcserélhető a deriválással.

Montel tétele: Ha az holomorf függvények sorozata lokálisan korlátos egy tartományon, akkor van kompakt konvergens részsorozata.

Legyen harmonikus függvény egy egyszeresen összefüggő tartományon! Ekkor van olyan függvény, ami szintén harmonikus, és az függvény holomorf. Ekkor az és harmonikus függvények konjugáltak.

Kapcsolat a valós differenciálhatósággal[szerkesztés]

természetes módon kétdimenziós vektortér a valós számok fölött, természetes ortonormált bázisa . Így egy függvénynek az nyílt halmazon való differenciálhatósága totális differenciálhatóságot jelent a magasabb dimenziós valós analízis értelmében. Ha függvény, akkor totális differenciálható a pontban, ha van egy -lineáris leképezés úgy, hogy

ahol az függvény olyan, hogy

Most látható, hogy pontosan akkor komplex differenciálható a komplex számban, ha ugyanitt totálisan differenciálható, és -lineáris. Ez utóbbi egy erős feltétel. Ez azt jelenti, hogy mátrixa az kanonikus bázisban

Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek[szerkesztés]

Ha felbontjuk az függvényt valós és képzetes részére, mint , akkor a totális derivált:

Megfordítva, egy függvény komplex értelemben differenciálható, ha valós értelmben folytonosan differenciálható, és a fenti függvényekre:

Ekvivalens tulajdonságok[szerkesztés]

Egy komplex szám egy környezetében ekvivalensek a következők:

  1. A függvény komplex differenciálható.
  2. A függvény akárhányszor komplex differenciálható.
  3. A valós és a képzetes részek megoldják a Cauchy-Riemann-differenciálegyenleteket, és legalább egyszer folytonosan differenciálhatók.
  4. A függvény komplex hatványsorba fejthető.
  5. A függvény folytonos, és minden zárt út menti integrálja eltűnik.
  6. A függvény értékei egy körlap belsejében kiszámíthatók a körvonalon felvett értékekből a Cauchy-integrálképlettel.
  7. A függvény valós értelemben differenciálható, továbbá
ahol a Cauchy-Riemann-operátor, aminek definíciója:

Biholomorf függvények[szerkesztés]

Egy függvény biholomorf, ha holomorf, bijektív és inverze is holomorf. Egyváltozós függvények esetén ez ekvivalens azzal, hogy a leképezés bijektív és konform. Az implicit függvénytételből következik, hogy ha egy függvény holomorf és bijektív, akkor az inverze is holomorf. Többváltozós esetben ugyanezt Osgood tétele garantálja. Így a bijektív, holomorf függvények biholomorfak.

A kategóriaelmélet szempontjából a biholomorf leképezések izomorfizmusok.

Többváltozós holomorf függvények[szerkesztés]

Legyen nyílt halmaz. Az leképezés holomorf, ha minden részfüggvényében és változójában holomorf. A komplex függvények parciális deriváltjai egyszerűen kezelhetők a Wirtinger-kalkulussal: és sok szép tulajdonságot mutat.

Így az függvényekre nem teljesül a Cauchy-integráltétel, és az identitástételnek csak egy gyengébb változata adódik. A Cauchy-integrálképlet azonban alkalmazható, ami teljes indukcióval általánosítható. Salomon Bochner 1944-ben bizonyította a Bochner-Martinelli-képletet, ami az integrálképlet további általánosítása.

A komplex geometriában is alkalmazzák a holomorfiát. Így tekintik a Riemann-felületek és a komplex sokaságok egymás közötti holomorf leképezéseit a sima sokaságok közötti valós differenciálható leképezésekkel analóg módon. Emellett az integrációelmélet számára fontos alkalmazások a sima differenciálformákhoz hasonlóan, holomorf differenciálformák néven.

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 
  • Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)
  • Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3540100326 .
  • Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3540203923 .
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3528772476 .
  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3540676414 .
  • Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 9783540878995 .
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3540418555 .
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 9783540404323 .

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Holomorphe Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.