Hatványsor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

alakú végtelen összeg, ahol tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

  • egyedül a középpont
  • valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
  • az egész vagy .

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár[szerkesztés]

Az körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit -rel jelölve a hatványsor minden -re konvergens, amire . Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

  • esetén a hatványsor abszolút konvergens
  • ha , akkor divergens
  • hogyha , akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
  • ha pedig , akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden x-re, amire .

Műveletek[szerkesztés]

Összeadás és skalárral szorzás[szerkesztés]

Ha és hatványsorok,

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a és hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

Szorzás[szerkesztés]

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

ahol az és a sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás[szerkesztés]

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák[szerkesztés]

  • A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
  • Exponenciális függvény: ,
a konvergenciasugár végtelen
  • Logaritmus, .
A konvergenciasugár 1; -ben konvergens, -re divergens
  • Négyzetgyök, ,
a konvergenciasugár 1, és a sor -ben és -ben is konvergál
  • Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Források[szerkesztés]