A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.}
alakú végtelen összeg, ahol
(
a
n
)
n
∈
N
0
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
valós vagy komplex számsorozat . Az
x
0
{\displaystyle x_{0}}
konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:
egyedül a középpont
valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
az egész
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz .
Az
x
0
{\displaystyle x_{0}}
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle x}
|
x
−
x
0
|
<
r
{\displaystyle |x-x_{0}|<r}
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
r
=
1
lim sup
n
→
∞
(
|
a
n
|
n
)
.
{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.}
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
a
n
+
1
|
,
{\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,}
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
|
x
−
x
0
|
<
r
{\displaystyle |x-x_{0}|<r}
ha
|
x
−
x
0
|
>
r
{\displaystyle |x-x_{0}|>r}
hogyha
|
x
−
x
0
|
=
r
{\displaystyle |x-x_{0}|=r}
ha pedig
|
x
−
x
0
|
≤
r
′
<
r
{\displaystyle |x-x_{0}|\leq r^{\prime }<r}
x
{\displaystyle x}
|
x
−
x
0
|
≤
r
′
{\displaystyle |x-x_{0}|\leq r^{\prime }}
Összeadás és skalárral szorzás [ szerkesztés ] Ha
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}
c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,
akkor a
f
+
g
{\displaystyle f+g}
c
f
{\displaystyle cf}
r sugarú körben, és
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
n
+
b
n
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}
c
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
c
a
n
)
(
x
−
x
0
)
n
.
{\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.}
Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
)
(
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
x
0
)
n
)
=
∑
i
=
0
∞
∑
j
=
0
∞
a
i
b
j
(
x
−
x
0
)
i
+
j
=
∑
n
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}
ahol
m
n
=
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
{\displaystyle \textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
konvolúciója .
Deriválás és integrálás [ szerkesztés ] Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
f
′
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
(
x
−
x
0
)
n
−
1
=
∑
n
=
0
∞
a
n
+
1
(
n
+
1
)
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
f
(
k
)
(
x
)
=
∑
n
=
k
∞
n
!
(
n
−
k
)
!
a
n
(
x
−
x
0
)
n
−
k
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
k
)
!
n
!
a
n
+
k
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}}
Hasonlóan számítható a primitív függvény :
∫
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
+
1
n
+
1
+
C
=
∑
n
=
1
∞
a
n
−
1
(
x
−
x
0
)
n
n
+
C
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
Exponenciális függvény :
e
x
=
exp
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
h
a
x
∈
R
{\displaystyle e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \ x\in \mathbb {R} }
a konvergenciasugár végtelen
Logaritmus ,
ln
(
1
+
x
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
k
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
h
a
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1<x\leq 1}
A konvergenciasugár 1;
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
Négyzetgyök ,
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
2
⋅
4
x
2
+
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
6
x
3
−
⋯
h
a
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1\leq x\leq 1}
a konvergenciasugár 1, és a sor
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort
![{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6218c2232079e3fe6df099f7dc1b293a316494)
