Hatványsor

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.$

alakú végtelen összeg, ahol $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az $x_{0}$$x_0$ szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

• egyedül a középpont
• valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
• az egész $\mathbb {R}$${\mathbb {R}}$ vagy $\mathbb {C}$${\mathbb {C}}$.

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár

Az $x_{0}$$x_0$ körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit $r$$r$-rel jelölve a hatványsor minden $x$$x$-re konvergens, amire $|x-x_{0}|<r$$|x-x_{0}|<r$. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}})}}.$$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}})}}.$

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,$$r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,$

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

• $|x-x_{0}|<r\Rightarrow$$|x-x_{0}|<r\Rightarrow$ esetén a hatványsor abszolút konvergens
• ha $|x-x_{0}|>r\Rightarrow$$|x-x_{0}|>r\Rightarrow$, akkor divergens
• hogyha $|x-x_{0}|=r\Rightarrow$$|x-x_{0}|=r\Rightarrow$, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
• ha pedig $|x-x_{0}|\leq r^{\prime }<r$$|x-x_{0}|\leq r^{\prime }<r$, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden x-re, amire $|x-x_{0}|\leq r^{\prime }$$|x-x_{0}|\leq r^{\prime }$.

Műveletek

Összeadás és skalárral szorzás

Ha $f$$f$ és $g$$g$ hatványsorok,

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}$

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a $f+g$$f+g$ és $cf$$cf$ hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

$f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}$$f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}$

$cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.$$cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.$

Szorzás

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}$

ahol $\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$$\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ az $(a_{n})$$(a_{n})$ és a $(b_{n})$$(b_{n})$ sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}$

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}$$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}$

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C$$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C$

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák

• A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
• Exponenciális függvény: $e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \ x\in \mathbb {R}$$e^{x}=\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \ x\in \mathbb {R}$,

a konvergenciasugár végtelen

• Logaritmus, $\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1<x\leq 1$$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1<x\leq 1$.

A konvergenciasugár 1; $x=1$$x=1$-ben konvergens, $x=-1$$x=-1$-re divergens

• Négyzetgyök, ${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1\leq x\leq 1$${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-\cdots \quad \mathrm {ha} \quad -1\leq x\leq 1$,

a konvergenciasugár 1, és a sor $x=1$$x=1$-ben és $x=-1$$x=-1$-ben is konvergál

• Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Források

• Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
• E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics