Hatványsor

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.$

alakú végtelen összeg, ahol $(a_n)_{n \in \mathbb N_0}$ tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az $x_0$ szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

• egyedül a középpont
• valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
• az egész $\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{C}$.

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár

Az $x_0$ körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit $r$-rel jelölve a hatványsor minden $x$-re konvergens, amire $|x-x_0|<r$. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

$r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.$

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,$

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

• $|x-x_0|<r \Rightarrow$ esetén a hatványsor abszolút konvergens
• ha $|x-x_0|>r \Rightarrow$, akkor divergens
• hogyha $|x-x_0|=r \Rightarrow$, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
• ha pedig $|x-x_0|\leq r^{\prime}<r$, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden x-re, amire $|x-x_0|\leq r^{\prime}$.

Műveletek

Összeadás és skalárral szorzás

Ha $f$ és $g$ hatványsorok,

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a $f+g$ és $cf$ hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n$

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .$

Szorzás

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

$\begin{align} f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n \end{align}$

ahol $\textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ az $(a_n)$ és a $(b_n)$ sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}$

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával

$f^{(k)} (x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n$

Hasonlóan számítható a primitív függvény:

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C$

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák

• A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
• Exponenciális függvény: $e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \mathrm{ha}\ x \in \mathbb{R}$,

a konvergenciasugár végtelen

• Logaritmus, $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots \quad \mathrm{ha} \quad -1 < x \leq 1$.

A konvergenciasugár 1; $x=1$-ben konvergens, $x=-1$-re divergens

• Négyzetgyök, $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 - \cdots \quad \mathrm{ha} \quad -1 \leq x \leq 1$,

a konvergenciasugár 1, és a sor $x=1$-ben és $x=-1$-ben is konvergál

• Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Források

• Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]
• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
• E. D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics