Hatványsor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.

alakú végtelen összeg, ahol (a_n)_{n \in \mathbb N_0} tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az x_0 szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:

  • egyedül a középpont
  • valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
  • az egész \mathbb{R} vagy \mathbb{C}.

A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.

Konvergenciasugár[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x_0 körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit r-rel jelölve a hatványsor minden x-re konvergens, amire |x-x_0|<r. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.

A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:

 r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.

Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:

 r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,

hogyha a határérték létezik.

A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:

  • |x-x_0|<r \Rightarrow esetén a hatványsor abszolút konvergens
  • ha |x-x_0|>r \Rightarrow, akkor divergens
  • hogyha |x-x_0|=r \Rightarrow, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
  • ha pedig |x-x_0|\leq r^{\prime}<r, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden x-re, amire |x-x_0|\leq r^{\prime}.

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összeadás és skalárral szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f és g hatványsorok,

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n

c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,

akkor a f+g és cf hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és

f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n
cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .

Szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és

\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n
\end{align}

ahol \textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} az (a_n) és a (b_n) sorozatok konvolúciója.

Deriválás és integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}

A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával


f^{(k)} (x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k}
            = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n

Hasonlóan számítható a primitív függvény:


\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C

Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

a konvergenciasugár végtelen
A konvergenciasugár 1; x=1-ben konvergens, x=-1-re divergens
a konvergenciasugár 1, és a sor x=1-ben és x=-1-ben is konvergál
  • Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]