Komplex analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvény[szerkesztés]

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Differenciálhatóság[szerkesztés]

A derivált[szerkesztés]

Valamely függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:

Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

A Cauchy–Riemann egyenletek[szerkesztés]

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek.[1] Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, komplex változós függvény felírható ekvivalens módon alakban a következőképpen:

Pontosan akkor differenciálható valamely pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

Ekkor a derivált értéke a következő:

Minden differenciálható komplex függvény analitikus[szerkesztés]

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Integrálás[szerkesztés]

Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy alaptétel: bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla.

A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy

Ebből megkapható, hogy egy alakú függvény, ahol tetszőleges, analitkus függvény, pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény pont-beli értékét adja.

Holomorf függvények[szerkesztés]

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvények[szerkesztés]

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.

Források[szerkesztés]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 105. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8