Komplex analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A komplex analízis vagy komplex függvénytan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Differenciálhatóság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A derivált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valamely f \in \mathbb{C} \to \mathbb{C} függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:

f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,

Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

f':\Omega \to \mathbb{C}

A Cauchy–Riemann egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek.[1] Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, f komplex változós függvény felírható ekvivalens módon f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 alakban a következőképpen:

f(x,y)=\begin{bmatrix}
f_1(x,y) \\
f_2(x,y)
\end{bmatrix}

Pontosan akkor differenciálható f valamely z = x + yi pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

\partial_1 f_1(x,y) = \partial_2 f_2(x,y) \qquad \partial_1 f_2(x,y) = - \partial_2 f_1(x,y)

Ekkor a derivált értéke a következő:

f'(z) = \partial_1 f_1(x,y) + \partial_1 f_2(x,y) i

Minden differenciálható komplex függvény analitikus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Holomorf függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 105. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8