Liouville-tétel (komplex analízis)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A komplex függvénytanban Liouville tétele azt állítja, hogy ha egy egészfüggvény korlátos, akkor konstans. A tételt Joseph Liouville után nevezték el. Ez azt jelenti, hogy ha f az egész síkon holomorf, és van hozzá pozitív M, hogy akkor minden számra -ben. Ekvivalensen, a teljes in -n nem konstans holomorf függvények képe sűrű.

A tétel erősítése a Picard-tétel, ami szerint egy egészfüggvény legfeljebb egy értéket hagy ki.

Következményei[szerkesztés]

Az algebra alaptétele[szerkesztés]

Liouville tételével az algebra alaptétele röviden belátható.

Egészfüggvény nem dominál egészfüggvényt[szerkesztés]

Liouville tételének egyik következménye, hogy lényegében különböző egészfüggvények nem dominálják egymást. Azaz, ha f és g egészfüggvények, és |f| ≤ |g| mindenütt, akkor f = α·g valamely α komplex számra.

Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g0. Legyen most h = f/g, ekkor elég belátni, hogy h kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A h függvény nyilván holomorf, kivéve a g−1(0) helyeken. De mivel h korlátos és g szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért h kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.

Egészfüggvény skalárszoros korláttal[szerkesztés]

Feltesszük, hogy f egészfüggvény, és van egy alkalmas M pozitív valós szám, hogy |f(z)| kisebb, vagy egyenlő, mint M|z|. A Cauchy-integrálképlettel

ahol I a maradék integrál értéke. Ez azt mutatja, hogy f' korlátos egészfüggvény, tehát konstans. Az integrál megmutatja, hogy f affin. Az eredeti állítás miatt a konstans tag nulla.

Elliptikus függvények[szerkesztés]

Következik az is, hogy nem konstans elliptikus függvények nem definiálhatók teljes C-n. Tegyük fel, hogy f egy teljes C-n definiált elliptikus függvény, és periódusai a és b úgy, hogy ab nem valós. Legyen most P az a paralelogramma, aminek csúcsai 0, a, b és a + b. Ekkor f értékkészlete éppen f(P). Mivel f folytonos, és P kompakt, azért ez is kompakt, így korlátos. Liouville tétele miatt f konstans.

Az elliptikus függvényekre vonatkozó állítást Liouville bizonyította 1847-ben.[1] Valójában Cauchytól származik egy korábbi bizonyítás 1844-ből.[2][3]

Nem konstans egészfüggvények képe sűrű[szerkesztés]

Ha f nem konstans egészfüggvény, akkor képe sűrű C-ben. Ez Liouville tételének egy egyszerűen megkapható erősítése.

Ha f képe nem sűrű, akkor van egy w komplex szám, és egy r pozitív valós szám, hogy a w közepű, r sugarú körben nincs értéke f-nek. LÉegyen a g függvény olyan, hogy

g(z) = 1/(f(z) − w).

Ekkor g korlátos, mivel

Ezért g konstans, tehát f is konstans.

Kompakt Riemann-felületek[szerkesztés]

Kompakt Riemann-felületeken a holomorf függvények konstansok.[4]

Legyen holomorf a teljes Riemann-felületen! Kompaktság miatt van egy pont, ahol felveszi maximumát. Ekkor választunk térképet egy környezetéről a egységlemezre, ezzel holomorf az egységlemezen, és maximumát a pontban veszi fel. Ezért a maximumelv miatt konstans.

Bizonyítás[szerkesztés]

A tétel bizonyítása azt használja fel, hogy a holomorf függvények analitikusak. Ha f egészfüggvény, akkor a 0 körül Taylor-sorba fejthető:

amiből a Cauchy-integrálképlettel

és Cr a 0 körüli r > 0 sugarú kör. Feltéve, hogy f konstans, van egy M konstans, hogy |f(z)| ≤ M minden z komplex számra. Ekkor M becsülhető, mint:

A második egyenlőtlenségben felhasználtuk, hogy |z|=r a körön. De r akármilyen pozitív szám lehet. Ha r-rel a végtelenbe tartunk (tarthatunk is, mert f egészfüggvény), akkor ak = 0 minden k ≥ 1 esetén. Tehát f(z) = a0, amivel a tételt bebizonyítottuk.

Megjegyzések[szerkesztés]

Legyen C ∪ {∞} a C egypontos kompaktifikációja! A C-ben definiált régiók helyett vehetők a C ∪ {∞} régiói. A CC ∪ {∞} halmazon definiált egészfüggvényeknek csak a ∞-ben lehet szingularitása. Ha egy egészfüggvény ∞ egy környezetében korlátos, akkor ∞ megszüntethető szingularitás, f nem robban vagy viselkedik kaotikusan a ∞ egy környezetében, f konstans. Ez nem meglepő Liouville tételének ismeretében.

Hasonlóan, ha a holomorf függvénynek pólusa van a ∞-ben, akkor polinom. Ekkor úgy robban fel a ∞ egy környezetében, mint zn. Még pontosabban, ha elég nagy z esetén |f(z)| ≤ M.|zn|, akkor f legfeljebb n-edfokú polinom.

Ugyanisf-et Taylor-sorba fejtve

Cauchy becslése alapján

Így, ha k > n,

Tehát ak = 0.

Liouville tétele nem érvényes a hasított komplex számokra és a duális számokra.[5]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 88: 277–310, 1879, ISSN 0075-4102, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=266004>
  2. Cauchy, Augustin-Louis (1844), "Mémoires sur les fonctions complémentaires", Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, vol. 8, 1, Paris: Gauthiers-Villars (published 1882)
  3. Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, vol. 15, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
  4. a concise course in complex analysis and Riemann surfaces, Wilhelm Schlag, corollary 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf
  5. https://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2011/vol12-n2/paper4/v12n2-4pd.pdf

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville's theorem (complex analysis) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.