Liouville-tétel (komplex analízis)

A komplex függvénytanban Liouville tétele azt állítja, hogy ha egy egészfüggvény korlátos, akkor konstans. A tételt Joseph Liouville után nevezték el. Ez azt jelenti, hogy ha f az egész síkon holomorf, és van hozzá pozitív M, hogy akkor $|f(z)|\leq M$ minden $z$ számra $\mathbb {C}$-ben. Ekvivalensen, a teljes $z$ in $\mathbb {C}$-n nem konstans holomorf függvények képe sűrű.

A tétel erősítése a Picard-tétel, ami szerint egy egészfüggvény legfeljebb egy értéket hagy ki.

Következményei

Az algebra alaptétele

Liouville tételével az algebra alaptétele röviden belátható.

Egészfüggvény nem dominál egészfüggvényt

Liouville tételének egyik következménye, hogy lényegében különböző egészfüggvények nem dominálják egymást. Azaz, ha f és g egészfüggvények, és |f| ≤ |g| mindenütt, akkor f = α·g valamely α komplex számra.

Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g$\neq$0. Legyen most h = f/g, ekkor elég belátni, hogy h kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A h függvény nyilván holomorf, kivéve a g⁻¹(0) helyeken. De mivel h korlátos és g szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért h kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.

Egészfüggvény skalárszoros korláttal

Feltesszük, hogy f egészfüggvény, és van egy alkalmas M pozitív valós szám, hogy |f(z)| kisebb, vagy egyenlő, mint M|z|. A Cauchy-integrálképlettel

$|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}$

ahol I a maradék integrál értéke. Ez azt mutatja, hogy f' korlátos egészfüggvény, tehát konstans. Az integrál megmutatja, hogy f affin. Az eredeti állítás miatt a konstans tag nulla.

Elliptikus függvények

Következik az is, hogy nem konstans elliptikus függvények nem definiálhatók teljes C-n. Tegyük fel, hogy f egy teljes C-n definiált elliptikus függvény, és periódusai a és b úgy, hogy ^a⁄_b nem valós. Legyen most P az a paralelogramma, aminek csúcsai 0, a, b és a + b. Ekkor f értékkészlete éppen f(P). Mivel f folytonos, és P kompakt, azért ez is kompakt, így korlátos. Liouville tétele miatt f konstans.

Az elliptikus függvényekre vonatkozó állítást Liouville bizonyította 1847-ben. Valójában Cauchytól származik egy korábbi bizonyítás 1844-ből.

Nem konstans egészfüggvények képe sűrű

Ha f nem konstans egészfüggvény, akkor képe sűrű C-ben. Ez Liouville tételének egy egyszerűen megkapható erősítése.

Ha f képe nem sűrű, akkor van egy w komplex szám, és egy r pozitív valós szám, hogy a w közepű, r sugarú körben nincs értéke f-nek. LÉegyen a g függvény olyan, hogy

g(z) = 1/(f(z) − w).

Ekkor g korlátos, mivel

$(\forall z\in \mathbb {C} ):|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}\cdot$

Ezért g konstans, tehát f is konstans.

Kompakt Riemann-felületek

Kompakt Riemann-felületeken a holomorf függvények konstansok.

Legyen $f(z)$ holomorf a teljes $M$ Riemann-felületen! Kompaktság miatt van egy $\,p_{0}\in M$ pont, ahol $|f(p)|$ felveszi maximumát. Ekkor választunk térképet $p_{0}$ egy környezetéről a $\mathbb {D}$ egységlemezre, ezzel $f(\phi ^{-1}(z))$ holomorf az egységlemezen, és maximumát a $\phi (p_{0})\in \mathbb {D}$ pontban veszi fel. Ezért a maximumelv miatt konstans.

Bizonyítás

A tétel bizonyítása azt használja fel, hogy a holomorf függvények analitikusak. Ha f egészfüggvény, akkor a 0 körül Taylor-sorba fejthető:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

amiből a Cauchy-integrálképlettel

$a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta$

és C_r a 0 körüli r > 0 sugarú kör. Feltéve, hogy f korlátos, van egy M konstans, hogy |f(z)| ≤ M minden z komplex számra. Ekkor az együtthatók becsülhetők, mint:

$|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},$

A második egyenlőtlenségben felhasználtuk, hogy |z|=r a körön. De r akármilyen pozitív szám lehet. Ha r-rel a végtelenbe tartunk (tarthatunk is, mert f egészfüggvény), akkor a_k = 0 minden k ≥ 1 esetén. Tehát f(z) = a₀, amivel a tételt bebizonyítottuk.

Megjegyzések

Legyen C ∪ {∞} a C egypontos kompaktifikációja! A C-ben definiált régiók helyett vehetők a C ∪ {∞} régiói. A C ⊂ C ∪ {∞} halmazon definiált egészfüggvényeknek csak a ∞-ben lehet szingularitása. Ha egy egészfüggvény ∞ egy környezetében korlátos, akkor ∞ megszüntethető szingularitás, f nem robban vagy viselkedik kaotikusan a ∞ egy környezetében, f konstans. Ez nem meglepő Liouville tételének ismeretében.

Hasonlóan, ha a holomorf függvénynek pólusa van a ∞-ben, akkor polinom. Ekkor úgy robban fel a ∞ egy környezetében, mint zⁿ. Még pontosabban, ha elég nagy z esetén |f(z)| ≤ M.|zⁿ|, akkor f legfeljebb n-edfokú polinom.

Ugyanisf-et Taylor-sorba fejtve

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.$

Cauchy becslése alapján

$(\forall k\in \mathbb {N} ):|a_{k}|\leqslant Mr^{n-k}.$

Így, ha k > n,

$|a_{k}|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }Mr^{n-k}=0.$

Tehát a_k = 0.

Liouville tétele nem érvényes a hasított komplex számokra és a duális számokra.

Kapcsolódó szócikkek

• Mittag-Leffler-tétel

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville's theorem (complex analysis) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.