Folytonos függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság) [1].

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (V.ö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Pontbeli folytonosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: AR függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt f \in C(u)-val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan xA számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

 \forall \varepsilon > 0\quad \exists \delta > 0\quad \forall x \in A \quad (\;|x - u | < \delta \;\Rightarrow \; | f(x) - f(u) | < \varepsilon)

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen uA. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.

Átviteli elv[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az uA pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén a függvényértékek (f(xn)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

\forall (x_n):\mathbb{N}\to A\quad (\;\lim\limits_{n\to \infty} x_n=u \;\Rightarrow \;\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=f(u))

Halmazon való folytonosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt f \in C(H)-val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt f \in C-vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Szakadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az D_f\subset\Re halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő f(x) helyettesítési érték.

Szakadási hely[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A v\notin D_f az x\mapsto f(x) függvény szakadási helye, ha bármilyen \delta>0 sugarú környezetének minden x\ne v pontja az értelmezési tartomány eleme. (Az értelmezési tartomány határán beszélhetünk jobb, illetve bal oldali szakadási helyről.)

Szinguláris pont[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy v\in\Re hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a f(v):=\lim[f(x)] előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Ugráshely[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy v\in D_f hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel

Elsőfajú a szakadás,[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

ha a függvénynek a v helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az f(v) helyettesítési értékkel. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Szakadas.gif

Másodfajú a szakadás,[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

minden egyéb esetben.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.