Cauchy-integrálképlet

A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel. A tételnek több változata van.

Körlapra

Állítás

Ha $D\subseteq \mathbb {C}$ nyílt, $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorf, $a\in D$ komplex szám, továbbá $U:=U_{r}(a)\subset D$ relatív kompakt körlap $D$-ben, akkor minden $z\in U_{r}(a)$ esetén, vagyis ha $z$-re teljesül, hogy $|z-a|<r$:

$f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$

ahol $\partial U$ pozitív irányítású görbe, és $t\mapsto a+re^{\mathrm {i} t}$ ahol $t\in [0,2\pi ]$ $U$ kerülete.

Bizonyítás

Rögzített $z\in U$ esetén definiáljuk a $g\colon U\to \mathbb {C}$ függvényt mint $w\mapsto {\tfrac {f(w)-f(z)}{w-z}}$, ahol $w\neq z$ és $w\mapsto f'(z)$ ha $w=z$. Ekkor $g$ folytonos $U$-ban és holomorf $U\setminus \{z\}$-ben. A Cauchy-féle integráltétellel

$0=\oint _{\partial U}g=\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -f(z)\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}$.

Most a $h\colon U\to \mathbb {C}$, $\textstyle w\mapsto \oint _{\partial U}{\tfrac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -w}}$ függvény holomorf, és deriváltja $\textstyle h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}$, ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig $\zeta \mapsto -{\tfrac {1}{\zeta -w}}$. Tehát $h$ konstans, és mivel $h(a)=2\pi \mathrm {i}$, azért $h(z)=2\pi \mathrm {i}$.

Következményei

Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke: $\zeta (t)=a+re^{\mathrm {i} t}\,,\ \mathrm {d} \zeta =\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\mathrm {d} t$.

$f|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t$

Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy $|z-a|<r$ és $n\in \mathbb {N} _{0}$ esetén:

$f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .$

A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden $|z-a|<r$ komplex számra érvényes.

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.$

Az $f^{(n)}$ függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az $a_{n}$ együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha $|f(z)|\leq M$ für $|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)$, akkor az együtthatók becsülhetők, mint:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}$

A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni.

Kiszámíthatók integrálok is, például:

$\oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}$

A következmények bizonyítása

A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:

${\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}$

Az ${\frac {1}{\zeta -z}}$ kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:

${\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a-(z-a)}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\zeta -a}}}}\mathrm {d} \zeta \,{\overset {|{\frac {z-a}{\zeta -a}}|<1}{=}}\,{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-a}{\zeta -a}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-a)^{n}\end{aligned}}$

Mivel $|z-a|<|\zeta -a|=r$ esetén a mértani sor egyenletesen konvergens, szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!}}f^{(n)}|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{(re^{\mathrm {i} t})^{n+1}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen $M>0$ olyan, hogy $|f(z)|\leq M$ ha $|z-a|=r$! Ekkor $n\in \mathbb {N} _{0}$ számokra:

$|a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(a+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {M}{r^{n}}}$

Ha $f$ holomrf és korlátos a teljes $\mathbb {C}$ síkon, tehát $|f(z)|=|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}|\leq M$ minden $z\in \mathbb {C}$ komplex számra, akkor minden $r>0$ valós számra:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}$

Mivel $r$ tetszőleges, azért $a_{n}=0$ minden $n\in \mathbb {N}$ esetén. Így az $f$ korlátos volta miatt:

$f(z)=a_{0}$

Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.

Körlapok direkt szorzatán

A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható.

Pontosabban, ha $\Delta (z,r)=\{w\in \mathbb {C} \mid |z-w|<r\}$ nyílt körlap, akkor a $z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ középpontú policilinder, aminek multirádiusza $r=(r_{1},\dots ,r_{n})$, megadható, mint

$\Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})$

vagy ekvivalensen,

$\{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.$

A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de $n>1$ esetén nem biholomorf a gömbbel. Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek.

A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek $U_{1},\ldots ,U_{n}$ körlapok a komplex síkon, $\textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}$ pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az $f\colon U\to \mathbb {C}$ függvény holomorf, és $\xi \in U$ komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}$

A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy

$D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}$

illetve

$\left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},$

ahol $\textstyle M:=\max _{\xi \in U}|f(\xi )|$ és $r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ az $\textstyle U$ policilinder sugara. További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet.

Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint

$f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)}}\,\mathrm {d} \xi$,

ahol $\partial U=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}$.

Ciklusokra

A komplex analízisben egy lánc folytonos görbék egész együtthatós lineáris kombinációja, ahol a negatív előjel az irányítás megfordítását jelenti. Egy ciklus olyan lánc, amiben minden komplex szám ugyanannyiszor vég- mint kezdőpont; azaz zárt görbék alkotta lánc.

Legyen $D\subseteq \mathbb {C}$ tartomány, $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorf , és $\Gamma$ nullholomorf ciklus $D$-ben. Ekkor minden $z\in D$ esetén, ami nem pontja a $\Gamma$ ciklusnak, teljesül, hogy:

$\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$

ahol $\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)$ $\Gamma$ körülfordulási száma $z$ körül.

Források

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.