Cauchy-integrálképlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel. A tételnek több változata van.

Körlapra[szerkesztés]

Állítás[szerkesztés]

Ha nyílt, holomorf, komplex szám, továbbá relatív kompakt körlap -ben, akkor minden esetén, vagyis ha -re teljesül, hogy :

ahol pozitív irányítású görbe, és ahol kerülete.

Bizonyítás[szerkesztés]

Rögzített esetén definiáljuk a függvényt mint , ahol és ha . Ekkor folytonos -ban és holomorf -ben. A Cauchy-féle integráltétellel

.

Most a , függvény holomorf, és deriváltja , ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig . Tehát konstans, és mivel , azért .

Következményei[szerkesztés]

Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke: .

Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy és esetén:

A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden komplex számra érvényes.

Az függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha für , akkor az együtthatók becsülhetők, mint:

A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni.

Kiszámíthatók integrálok is, például:

A következmények bizonyítása[szerkesztés]

A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:

Az kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:

Mivel esetén a mértani sor egyenletesen konvergens, szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:

Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen olyan, hogy ha ! Ekkor számokra:

Ha holomrf és korlátos a teljes síkon, tehát minden komplex számra, akkor minden valós számra:

Mivel tetszőleges, azért minden esetén. Így az korlátos volta miatt:

Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.

Körlapok direkt szorzatán[szerkesztés]

A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható.

Pontosabban, ha nyílt körlap, akkor a középpontú policilinder, aminek multirádiusza , megadható, mint

vagy ekvivalensen,

A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de esetén nem biholomorf a gömbbel. Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek.

A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek körlapok a komplex síkon, pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az függvény holomorf, és komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:

A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy

illetve

ahol és az policilinder sugara.[1] További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet.

Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint

,

ahol .

Ciklusokra[szerkesztés]

A komplex analízisben egy lánc folytonos görbék egész együtthatós lineáris kombinációja, ahol a negatív előjel az irányítás megfordítását jelenti. Egy ciklus olyan lánc, amiben minden komplex szám ugyanannyiszor vég- mint kezdőpont; azaz zárt görbék alkotta lánc.

Legyen tartomány, holomorf , és nullholomorf ciklus -ben. Ekkor minden esetén, ami nem pontja a ciklusnak, teljesül, hogy:

ahol körülfordulási száma körül.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

Források[szerkesztés]

  • Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
  • Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.