Gömb

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A gömb perspektivikus négyszög hálója

A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör)testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő (=) távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb (≤) az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.

A gömböt tekinthetjük a kör általánosított fogalmának is.

Definíció[szerkesztés]

A Föld közel gömb alakú, egész pontosan geoid.

Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.

Egyenletek[szerkesztés]

Az analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:

Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:

A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:

Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:

Gömbi koordináták

Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:

Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.

A gömb felszíne:

a térfogata pedig:

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség).

Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta.

Definíció vektortérben[szerkesztés]

Legyen egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely normával. Ekkor a középpontú sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.

A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a pont sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.

Definíció metrikus térben[szerkesztés]

Legyen metrikus tér. Ekkor a középpontú sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:

Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi Einstein képét. A gömb nem több, mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a neutroncsillagok simábbak

Forgástestként[szerkesztés]

A gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszod lesz.

Terminológia[szerkesztés]

Egy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.

Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő egyenesek a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.

Topológia[szerkesztés]

Az n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklideszi n-gömbbel.

  • A 0-gömb pontpár a diszkrét topológiával
  • Az 1-gömb homeomorf a körrel; tehát minden csomó 1-gömb
  • A 2-gömb homeomorf a (közönséges) gömbbel. Így minden ellipszoid 2-gömb.

Az n-gömböt Sn-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklideszi gömbbel.

Az euklideszi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Heine-Borel tétellel:

A gömb egy egy pontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sn nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt.

Külső hivatkozások[szerkesztés]