Gömbi geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
RechtwKugeldreieck.svg

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, középpontú gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb -nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha és a gömb két nem átellenes pontja, akkor az sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az és közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha és átellenes pontok, akkor végtelen sok hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az és pontok gömbi távolsága, melyet -vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: .

Gömbháromszög[szerkesztés]

A gömbháromszög szögeinek összege nem egyenlő 180 fokkal

Ha az pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az gömbháromszögnek. Az gömbháromszög csúcsai az , , pontok, oldalszakaszai az pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: , és . Az gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = az és főkörívek -beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az egyenes által határolt, -t, illetve -t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög = és BCA szög = szögeket. Az euklideszi háromszög csúcsnál lévő szöge általában különbözik az gömbháromszög szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő. (csakúgy, mint az Euklideszi síkban) Felület: . Gömbi felesleg: .

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tétel[szerkesztés]

Bizonyítás1.: Legyen az pont merőleges vetülete az síkra , és legyen vetülete az , illetve egyenesekre és . Ekkor nyilván -re és -re. Viszont szög = és szög = , tehát = és = , ezért = . Azonban szög = , így . Hasonlóan , tehát .

Bizonyítás2.:

másrészt:

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra[szerkesztés]

Bizonyítás: másrészt:

Gömbi koszinusz-tétel szögekre[szerkesztés]

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

Gömbi Pitagorasz-tétel[szerkesztés]

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol

Polár gömbháromszög[szerkesztés]

Válasszuk az pontot a gömbön úgy, hogy az vektor az síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az -t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk -ot és -ot. Az gömbháromszög az gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az , , és , , betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

szög =

szög =

szög =

szögekkel való összefüggések:

szög =

szög =

szög =

polár gömbháromszög vektorai:

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

szög = szög =

szög = szög =

szög = szög =

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel