Reziduumtétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása[szerkesztés]

Ha tartomány, véges sok izolált pont halmaza -ben, és holomorf, akkor minden nullhomológ ahol még és a görbe körülfordulási száma:

A jobb oldal mindig véges, mivel nullhomológ, tehát relatív kompakt -ben, így korlátos.

  • Ha a -beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:
  • Ha holomorf -ben és , és -nak elsőrendű pólusa van -ben reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál[szerkesztés]

Ha meromorf -ben, és f nullhelyeinek, pólusainak halmaza, és , akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

ahol

null-, illetve pólushelyeinek rendje -ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

.

Alkalmazásai[szerkesztés]

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények[szerkesztés]

Ha a és a polinomok hányadosa minden -re, akkor

,

ahol a felső félsík, és egy elég nagy -re és -val és -val kiegészítve integrálunk a zárt félkörön, és tekintjük az határátmenetet. miatt egy elég nagy -re és a -re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

, tehát és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen , első rendű pólussal -ben. Ekkor , és így .

Trigonometrikus függvények[szerkesztés]

Legyen két polinom hányadosa, ahol minden -re, továbbá . Ekkor

ahol az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

,

mivel -nek elsőrendű pólusa van -ben, de csak a -ben levő pólusa fekszik -ben, és ott reziduuma .

Fourier-transzformált[szerkesztés]

Adva legyen egy függvény, továbbá az pontok, ahol , és . Ekkor van két szám, hogy elég nagy -re, ekkor minden -re

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül -ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása[szerkesztés]

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a körök középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a tartományban. Vegyük ezeket a köröket a lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot -nek! Az általános Cauchy-tétellel

Az függvény reziduumának integrálos alakja:

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Általánosítása[szerkesztés]

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források[szerkesztés]

  • Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online