Egyenletes konvergencia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {fn} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha fn(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az fn függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció[szerkesztés]

Legyen halmaz, és függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az sorozat egyenletesen tart az függvényhez, ha minden -hoz van egy természetes szám, hogy minden helyre és minden sorszámra .

Tekintsük az sorozatot, ahol a szuprémum az összes -re megy. Ekkor egyenletesen tart -hez, ha tart nullához.

Az sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart -hez, ha egy metrikus tér minden eleméhez létezik , hogy egyenletesen konvergens -ben.

Megjegyzés[szerkesztés]

Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (fn) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : SR, ha minden xS-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden nN-re fn(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy.

Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen fn(x) = xn minden n természetes számra. Ekkor az (fn) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
  • Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
  • Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
  • Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
  • Ha S kompakt, és folytonos függvények monoton növő sorozata ( minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
  • Ha kompakt intervallum, és egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.

Példák[szerkesztés]

Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával.

Az sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:

Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos.

Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens minden korlátos részhalmazán.

A sor:

A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.

De ez triviális:

Ha konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens.

A hányadoskritériumot alkalmazva:

ami azt jelenti, hogy az sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden -re egyenletesen konvergens, és mivel , S-en is egyenletesen konvergens.

Alkalmazások[szerkesztés]

Folytonosság[szerkesztés]

Ellenpélda a konvergenciatétel erősítésére, ami megelégedne a pontonkénti konvergenciával. A folytonos zöld függvények a nem folytonos piros függvényhez tartanak. Ez azért lehet, mert a konvergencia nem egyenletes

Ha intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk és folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az sorozat tagjai folytonos függvények az intervallumon, és egyenletesen konvergálnak -hez -n, akkor folytonos -n.

A tétel bizonyítása az fogásán alapul. Az egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget -ra.

Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát.

Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.

Differenciálhatóság[szerkesztés]

Ha intervallum, és az függvények mind differenciálhatók, és tartanak az függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az függvények deriváltjai tartsanak deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság.

Legyen például . Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól:[1]

Tegyük fel, hogy függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható -n, és hogy egy pontban konvergens. Ha egyenletesen konvergens ezen az -n, akkor egyenletesen konvergál egy függvényhez, és minden -re.

Integrálhatóság[szerkesztés]

Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt:

Ha Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja

Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így alsó és felső közelítő összegei távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől.

A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.

Analitikusság[szerkesztés]

Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.

Sorok[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy konvergenciája:

  1. pontonkénti E-n, ha sn pontinként konvergál, ahol sn(x) az n-edik részösszeg
  2. egyenletes E-n, ha sn(x) egyenletesen konvergens
  3. abszolút, ha minden x-re konvergál E-ben

Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk:

Tétel: Legyen x0 pont E-ben, és legyen minden fn folytonos x0-ban. Ha f = egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x0-ban.

Tegyük fel, hogy E = [a, b], és egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és fn integráljának sora az fn sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.

Majdnem egyenletes konvergencia[szerkesztés]

Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden számhoz van mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint , hogy az függvények egyenletesen konvergensek -on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes.

Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia.

Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens.

A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.

Általánosítások[szerkesztés]

A definíció közvetlenül kiterjeszthető SM függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |fn(x) − f(x)| helyettesíthető d(fn(x), f(x))-szel.

A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek.

A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re végtelenül közel van -hoz.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis Third edition. 1976. McGraw-Hill International editions.

Források[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.