Körülfordulási szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A körülfordulási szám, más néven index görbék topológiai invariánsa, ami a komplex analízisben is meghatározó.

Informálisan, a körülfordulási szám azt adja meg, hogy az adott görbe hányszor kerül meg egy adott pontot. A megkerülést előjelesen kell értelmezni, ahol az óramutató járásával ellentétes irány pozitív, az óramutató szerinti negatív.

Definíció[szerkesztés]

Komplex számsíkba ágyazott zárt görbe esetén a körülfordulási szám értelmezhető a következőképpen: Legyen zárt görbe a síkban, és komplex szám, ami nincs rajta a görbén! Ekkor körüli körülfordulási száma

A körülfordulási szám mindig egész, és értelmezhető topológiai eszközökkel is.

Körülfordulási szám = 1 Körülfordulási szám = -1 Körülfordulási szám = 0 Körülfordulási szám = 1 Körülfordulási szám = 2

Körülfordulási szám = 1

Körülfordulási szám = -1

Körülfordulási szám = 0

Körülfordulási szám = 1

Körülfordulási szám = 2

Kiszámítása[szerkesztés]

Körülfordulási szám=2
Körülfordulási szám=0

Nem mindig alkalmazható az intuitív kiszámítási mód, hogy a pozitív forgásirányú körüljárások számából levonjuk a negatív forgásirányú körüljárások számát.

A képlet levezetéséhez tekintsük az egységkört!

Jelölje a körvonal belsejét! Ekkor intuitívan minden és minden komplex számra. Ez utóbbi a Cauchy-féle integráltétel és a definíció következménye. Most legyen

Teljesül, hogy

A deriválás és az integrálás felcserélésével

és mivel az az integrandus primitív függvénye, . Továbbá összefüggősége miatt minden esetén.

Alkalmazás a komplex analízisben[szerkesztés]

A körülfordulási számot legtöbbször görbe menti integrálok kiszámítására használják. Legyen

meromorf, és szingularitásait jelölje ! Ekkor a reziduumtétel miatt integrálja egy, a szingularitásokat elkerülő görbe menti integrálja

Algoritmus[szerkesztés]

Az algoritmikus geometriában a körülfordulási számot arra használják, hogy eldöntsék, hogy egy pont egy nem egyszerű sokszögön belül van-e. Egyszerű sokszögek esetén az eljárás a páros-páratlan szabályra egyszerűsíthető.

Sokszögekre általános esetben a következő algoritmus alkalmazható:

1. Keresünk egy félegyenest, ami nem megy át a sokszög csúcsain.
2. Legyen
3. A félegyenes és a sokszögvonal összes metszéspontjára:
  • Ha az elmetszett él jobbról balra van irányítva, azaz a pont az él bal oldalán van, akkor növeljük -t eggyel.
  • Ha az elmetszett él balról jobbra van irányítva, azaz a pont az él jobb oldalán van, akkor csökkentjük -t eggyel.
4. Miután az összes elmetszett élt végignéztük, éppen a körülfordulási szám. Ha ez nulla, akkor a pont a sokszögön kívül van, különben belül.

Hasonlóan lehet nem egyenes szakaszokból álló zárt görbékre elvégezni a vizsgálatot, de ekkor nem adódik olyan triviálisan a metszéspontok vizsgálata.

Magasabb dimenziós sokaságokon[szerkesztés]

Magasabb dimenziós sokaságokra Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubov általánosította a körülfordulási számot. A Stokes-tétel alkalmazásával a pontra kapjuk, hogy

ahol egységgömb -ben, és az dimenziós sokaság, amin integrálunk.

Forrás[szerkesztés]

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Windungszahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés]