Meromorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként: (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek.

Definíció[szerkesztés]

Legyen nyílt halmaz, az izolált pólusok halmaza.

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Példák[szerkesztés]

A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon
  • Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:
  • Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
  • A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
  • Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:
  • Azonban az
függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a halmazon.
  • Ehhez hasonlóan az
függvénynek minden alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf -n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: , tehát nem pólus.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

Irodalom[szerkesztés]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)