Gamma-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

Mivel az nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)! azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ2-eloszlás, a Student-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • A Gauss-féle definíció:
  • A Weierstrass-féle szorzatalak:

ahol γ az Euler-állandó.

  • A Gauss-féle sokszorozási formula:
  • Ha x nem egész szám, akkor

Speciálisan .

  • A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:

(3) ln(f(s)) konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(-k, -k+1), k pozitív egész] intervallumain.[1]

Aszimptotikák[szerkesztés]

A gamma függvényt nagy értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

illetve

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

Hányados aszimptotikus előállítása:

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Importance of Log Convexity of the Gamma Function

Források[szerkesztés]

  • Fazekas F. – Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

További információk[szerkesztés]

Faktoriális algoritmusok
Faktoriális közelítései
Számológépek a faktoriálishoz

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]