Stirling-formula

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

ahol e a természetes logaritmus alapja a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:

$\Gamma \left(z\right)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},$

ha $z\to \infty$ és $\left|{\arg z}\right|<\pi$.

Története

James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a $\log 1+\log 2+\cdots +\log n=\log n!\,\!$ kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):

$\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\log \left({n+{\frac {1}{2}}}\right)-\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)-{\frac {1}{24\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)}}+{\frac {7}{2880\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{3}}}-\cdots$

A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag $k\geq 1$ esetén a következő:

${\frac {\left({2^{1-2k}-1}\right)B_{2k}}{2k\left({2k-1}\right)\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{2k-1}}},$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:

$\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\log n-n+{\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+\cdots$

Ebben az esetben az általános tag

${\frac {B_{2k}}{2k\left({2k-1}\right)n^{2k-1}}}.$

A képletben látható ${\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)$ tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismertté Stirling-formula (vagy Stirling-sor) néven.

Bizonyítás

De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:

$\Gamma \left(z\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z\left({z+1}\right)\cdots \left({z+n-1}\right)}}.$

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy $\Re (z)>0$)

$\psi \left(z\right):={\frac {\Gamma '\left(z\right)}{\Gamma \left(z\right)}}=\lim _{n\to \infty }\left({\log n-{\frac {1}{z}}-{\frac {1}{z+1}}-\cdots -{\frac {1}{z+n-1}}}\right)$

$=\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {e^{-t}-e^{-nt}}{t}}dt-\sum \limits _{r=0}^{n-1}{\int _{0}^{\infty }{e^{-\left({z+r}\right)t}dt}}}}\right)$

$=\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {e^{-t}-e^{-nt}}{t}}dt-\int _{0}^{\infty }{{\frac {1-e^{-nt}}{1-e^{-t}}}e^{-zt}dt}}}\right)$

$=\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt-\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}}\right)e^{-nt}dt}}}\right)$

$=\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}}\right)dt}=\int _{0}^{\infty }{{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{t}}dt}+\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {1}{1-e^{-t}}}}\right)e^{-zt}dt}$

$=\log z+\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {1}{1-e^{-t}}}}\right)e^{-zt}dt}.$

Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analitikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:

${\frac {1}{t}}-{\frac {1}{1-e^{-t}}}=-{\frac {1}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{{\frac {B_{2k}}{\left({2k}\right)!}}t^{2k-1}},$

ahol B_k ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív $t$ esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így

$\psi \left(z\right)\sim \log z-{\frac {1}{2z}}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k}}{\frac {1}{z^{2k}}},\;\left|z\right|\to \infty ,\;\left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}}.$

Most mindkét oldalt integrálva

$\log \Gamma \left(z\right)\sim \left({z-{\frac {1}{2}}}\right)\log z-z+C+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\left({2k-1}\right)z^{2k-1}}}$

adódik valamilyen $C\,\!$ konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:

$\log \Gamma \left(z\right)+\log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)+\left({2z-1}\right)\log 2=\log \Gamma \left({2z}\right)+{\frac {1}{2}}\log \pi .$

Határértéket véve $C={\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)$-t fogunk kapni. A formulát itt csak $\left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}}$ esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha $\left|{\arg z}\right|<\pi$.

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott eredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük $\log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)$-t meghagyva, majd arra rendezve, $z=n+{\frac {1}{2}}$-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy $\log \Gamma \left({n+1}\right)=\log n!$, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

Konvergencia és exponenciális alak

A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen $z\,\!$ esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg.

A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:

$\Gamma \left(z\right)\sim \left({\frac {z}{e}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({2k+1}\right)!!a_{2k+1}}{z^{k}}}=\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-\cdots }\right),$

ahol $a_{k}\,\!$ az

$a_{k}={\frac {a_{k-1}}{k+1}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{k-1}{a_{i}a_{k+1-i}},\;a_{1}=1,\;a_{2}={\frac {1}{3}}$

rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára

$\Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)\sim \left({\frac {z}{e}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}}{z^{k}}}=\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }}\left({1-{\frac {1}{24z}}+{\frac {1}{1152z^{2}}}+\cdots }\right)$

adódik. Bevezetve a $c_{k}:=\left({2k+1}\right)!!a_{2k+1}$ jelölést, Legendre duplikációs képletéből

$b_{k}={\frac {1}{2^{k}}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\left({-1}\right)^{i}2^{i}c_{k-i}c_{i}}.$

Hibabecslés

Tetszőleges pozitív egész $N$ esetén vezessük be a következő jelöléseket:

$\log \Gamma \left(z\right)=\left({z-{\frac {1}{2}}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)+\sum \limits _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}}{2k\left({2k-1}\right)z^{2k-1}}}+R_{N}\left(z\right)$

és

$\Gamma \left(z\right)=\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\sum \limits _{k=0}^{N-1}{\frac {c_{k}}{z^{k}}}+{\widetilde {R}}_{N}\left(z\right)}\right).$

Ekkor

$\left|{R_{N}\left(z\right)}\right|\leq {\frac {\left|{B_{2N}}\right|}{2N\left({2N-1}\right)\left|z\right|^{2N-1}}}{\begin{cases}1&{\text{ ha }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|{\csc(\arg z)}\right|&{\text{ ha }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\frac {\arg z}{2}}\right)&{\text{ ha }}\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}}$

és

${\big |}{\widetilde {R}}_{N}\left(z\right){\big |}\leq \left({{\frac {\left|{c_{N}}\right|}{\left|z\right|^{N}}}+{\frac {\left|{c_{N+1}}\right|}{\left|z\right|^{N+1}}}}\right){\begin{cases}1&{\text{ ha }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|{\csc(\arg z)}\right|&{\text{ ha }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{cases}}$

További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.

A Stirling formula konvergens változata

1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\log \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+z-{\frac {1}{2}}\log(2\pi ).$

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha $z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)$, akkor

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}$

ahol

$c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx={\frac {1}{2n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {k\left|{s(n,k)}\right|}{\left({k+1}\right)\left({k+2}\right)}},$

ahol ${s\left({n,k}\right)}$ az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

$\log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {\log {2\pi }}{2}}$

${}+{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots ,$

ami konvergens, ha $\Re (z)>0$.

Zárt közelítések

Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.

Gosper [2]:

$n!\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi \left({n+{\frac {1}{6}}}\right)}}$

Robert H. Windschitl [3]:

$n!\sim \left({{\frac {n}{e}}{\sqrt {n\sinh {\frac {1}{n}}}}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

Nemes Gergő [4]:

$n!\sim \left({{\frac {n}{e}}\left({1+{\frac {1}{15n^{2}}}}\right)^{5/4}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

$n!\sim \left({{\frac {1}{e}}\left({n+{\frac {1}{12n-{\frac {1}{10n}}}}}\right)}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.

A faktoriális logaritmusa

A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart.

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

$\log n!\approx n\log n-n\,$

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.

Lásd még

• Spouge-formula

Források

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz