Stirling-formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

ahol e a természetes logaritmus alapja a jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:

ha és .

Története[szerkesztés]

James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):

A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag esetén a következő:

ahol Bk a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:

Ebben az esetben az általános tag

A képletben látható tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismertté Stirling-formula (vagy Stirling-sor) néven.

Bizonyítás[szerkesztés]

De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy )

Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analitikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:

ahol Bk ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így

Most mindkét oldalt integrálva

adódik valamilyen konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:

Határértéket véve -t fogunk kapni. A formulát itt csak esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha .

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott eredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük -t meghagyva, majd arra rendezve, -et helyettesítve, végül felhasználva, hogy , éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

Konvergencia és exponenciális alak[szerkesztés]

A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg.

A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:

ahol az

rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára

adódik. Bevezetve a jelölést, Legendre duplikációs képletéből

Hibabecslés[szerkesztés]

Tetszőleges pozitív egész esetén vezessük be a következő jelöléseket:

és

Ekkor [1]

és [2]

További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.

A Stirling formula konvergens változata[szerkesztés]

1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha , akkor

ahol

ahol az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

ami konvergens, ha .

Zárt közelítések[szerkesztés]

Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.

Gosper [2]:

Robert H. Windschitl [3]:

Nemes Gergő [4]:

Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.

A faktoriális logaritmusa[szerkesztés]

A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart.

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Faktoriális algoritmusok
Faktoriális közelítései
Számológépek a faktoriálishoz
  1. F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 (1990), 453–470.
  2. G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145 (2015), 571–596.