A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.
Eszerint
ahol e a természetes logaritmus alapja, a
jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.
A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:
ha
és
.
James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a
kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):
A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag
esetén a következő:
ahol Bk a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:
Ebben az esetben az általános tag
A képletben látható
tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismertté Stirling-formula (vagy Stirling-sor) néven.
De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:
A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy
)






Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analitikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:
ahol Bk ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív
esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így
Most mindkét oldalt integrálva
adódik valamilyen
konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:
Határértéket véve
-t fogunk kapni. A formulát itt csak
esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha
.
Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott eredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük
-t meghagyva, majd arra rendezve,
-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy
, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.
Konvergencia és exponenciális alak[szerkesztés]
A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen
esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg.
A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:
ahol
az
rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára
adódik. Bevezetve a
jelölést, Legendre duplikációs képletéből
Tetszőleges pozitív egész
esetén vezessük be a következő jelöléseket:
és
Ekkor[1]
és[2]
További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.
A Stirling formula konvergens változata[szerkesztés]
1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]
A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha
, akkor

ahol

ahol
az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

ami konvergens, ha
.
Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.
Gosper [2]:
Robert H. Windschitl [3]:
Nemes Gergő [4]:
Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.
A faktoriális logaritmusa[szerkesztés]
A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart
A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.
- ↑ F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 (1990), 453–470.
- ↑ G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145 (2015), 571–596.
- Faktoriális algoritmusok
- Faktoriális közelítései
- Számológépek a faktoriálishoz