Stirling-formula

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

ahol e a természetes logaritmus alapja a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűség-számításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:

$\Gamma \left(z\right)\sim {\sqrt {{\frac {{2\pi }}{z}}}}\left({{\frac {z}{e}}}\right)^{z},$

ha $z\to \infty$ és $\left|{\arg z}\right|<\pi$.

Története

James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a $\log 1+\log 2+\cdots +\log n=\log n!\,\!$ kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol log a természetes logaritmus függvény):

$\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\log \left({n+{\frac {1}{2}}}\right)-\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)-{\frac {1}{{24\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)}}}+{\frac {7}{{2880\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{3}}}}-\cdots$

A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag $k\geq 1$ esetén a kővetkező:

${\frac {{\left({2^{{1-2k}}-1}\right)B_{{2k}}}}{{2k\left({2k-1}\right)\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{{2k-1}}}}},$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:

$\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\log n-n+{\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)+{\frac {1}{{12n}}}-{\frac {1}{{360n^{3}}}}+\cdots$

Ebben az esetben az általános tag

${\frac {{B_{{2k}}}}{{2k\left({2k-1}\right)n^{{2k-1}}}}}.$

A képletben látható ${\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)$ tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismerté Stirling-formula (vagy Stirling sor) néven.

Bizonyítás

De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:

$\Gamma \left(z\right)=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {{n!n^{z}}}{{z\left({z+1}\right)\cdots \left({z+n-1}\right)}}}.$

A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy $\Re (z)>0$)

$\psi \left(z\right):={\frac {{\Gamma '\left(z\right)}}{{\Gamma \left(z\right)}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\log n-{\frac {1}{z}}-{\frac {1}{{z+1}}}-\cdots -{\frac {1}{{z+n-1}}}}\right)$

$=\lim _{{n\to \infty }}\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {{e^{{-t}}-e^{{-nt}}}}{t}}dt-\sum \limits _{{r=0}}^{{n-1}}{\int _{0}^{\infty }{e^{{-\left({z+r}\right)t}}dt}}}}\right)$

$=\lim _{{n\to \infty }}\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {{e^{{-t}}-e^{{-nt}}}}{t}}dt-\int _{0}^{\infty }{{\frac {{1-e^{{-nt}}}}{{1-e^{{-t}}}}}e^{{-zt}}dt}}}\right)$

$=\lim _{{n\to \infty }}\left({\int _{0}^{\infty }{{\frac {{e^{{-t}}}}{t}}-{\frac {{e^{{-zt}}}}{{1-e^{{-t}}}}}dt-\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {{e^{{-zt}}}}{{1-e^{{-t}}}}}}\right)e^{{-nt}}dt}}}\right)$

$=\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {{e^{{-t}}}}{t}}-{\frac {{e^{{-zt}}}}{{1-e^{{-t}}}}}}\right)dt}=\int _{0}^{\infty }{{\frac {{e^{{-t}}-e^{{-zt}}}}{t}}dt}+\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {1}{{1-e^{{-t}}}}}}\right)e^{{-zt}}dt}$

$=\log z+\int _{0}^{\infty }{\left({{\frac {1}{t}}-{\frac {1}{{1-e^{{-t}}}}}}\right)e^{{-zt}}dt}.$

Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analítikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:

${\frac {1}{t}}-{\frac {1}{{1-e^{{-t}}}}}=-{\frac {1}{2}}-\sum \limits _{{k=1}}^{\infty }{{\frac {{B_{{2k}}}}{{\left({2k}\right)!}}}t^{{2k-1}}},$

ahol B_k ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív $t$ esetén korlátos, ezért alkalmazható az aszimptotikus analízis egyik fontos állítása, a Watson-lemma, így

$\psi \left(z\right)\sim \log z-{\frac {1}{{2z}}}-\sum \limits _{{k=1}}^{\infty }{{\frac {{B_{{2k}}}}{{{2k}}}}}{\frac {1}{{z^{{2k}}}}},\;\left|z\right|\to \infty ,\;\left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}}.$

Most mindkét oldalt integrálva

$\log \Gamma \left(z\right)\sim \left({z-{\frac {1}{2}}}\right)\log z-z+C+\sum \limits _{{k=1}}^{\infty }{{\frac {{B_{{2k}}}}{{2k\left({2k-1}\right)z^{{2k-1}}}}}}$

adódik valamilyen $C\,\!$ konstans mellett. A konstans meghatározásához a kapott sort helyettesítsük Legendre duplikációs képletébe:

$\log \Gamma \left(z\right)+\log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)+\left({2z-1}\right)\log 2=\log \Gamma \left({2z}\right)+{\frac {1}{2}}\log \pi .$

Határértéket véve $C={\frac {1}{2}}\log \left({2\pi }\right)$-t fogunk kapni. A formulát itt csak $\left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}}$ esetén bizonyítottuk, megjegyzendő azonban, hogy fennáll akkor is, ha $\left|{\arg z}\right|<\pi$.

Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott erdményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük $\log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)$-t meghagyva, majd arra rendezve, $z=n+{\frac {1}{2}}$-et helyettesítve, végül felhasználva, hogy $\log \Gamma \left({n+1}\right)=\log n!$, éppen Stirling eredeti sorát kapjuk.

Konvergencia és exponenciális alak

A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen $z\,\!$ esetén sem konvergens, ami a Bernoulli számok rohamos növekedéséből is jól látszik. Jó közelítést kaphatunk viszont, ha csak az első néhány tagot tartjuk meg. A hiba ilyenkor az első elhagyott tag abszolút értékével becsülhető.

A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:

$\Gamma \left(z\right)\sim \left({{\frac {z}{e}}}\right)^{z}{\sqrt {{\frac {{2\pi }}{z}}}}\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }{{\frac {{\left({2k+1}\right)!!a_{{2k+1}}}}{{z^{k}}}}}=\left({{\frac {z}{e}}}\right)^{z}{\sqrt {{\frac {{2\pi }}{z}}}}\left({1+{\frac {1}{{12z}}}+{\frac {1}{{288z^{2}}}}-\cdots }\right),$

ahol $a_{k}\,\!$ az

$a_{k}={\frac {{a_{{k-1}}}}{{k+1}}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{{i=1}}^{{k-1}}{a_{i}a_{{k+1-i}}},\;a_{1}=1,\;a_{2}={\frac {1}{3}}$

rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára

$\Gamma \left({z+{\frac {1}{2}}}\right)\sim \left({{\frac {z}{e}}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }}\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }{{\frac {{b_{k}}}{{z^{k}}}}}=\left({{\frac {z}{e}}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }}\left({1-{\frac {1}{{24z}}}+{\frac {1}{{1152z^{2}}}}+\cdots }\right)$

adódik. Bevezetve a $c_{k}:=\left({2k+1}\right)!!a_{{2k+1}}$ jelölést, Legendre duplikációs képletéből

$b_{k}={\frac {1}{{2^{k}}}}\sum \limits _{{i=0}}^{k}{\left({-1}\right)^{i}2^{i}c_{{k-i}}c_{i}}.$

A Stirling formula konvergens változata

1763-ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\log \Gamma (z)-\left(z-{\frac 12}\right)\log z+z-{\frac 12}\log(2\pi ).$

Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha $z^{{\overline n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)$, akkor

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{{\overline n}}}}$

ahol

$c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{{\overline n}}\left(x-{\frac 12}\right)\,dx={\frac {1}{{2n}}}\sum \limits _{{k=1}}^{n}{{\frac {{k\left|{s(n,k)}\right|}}{{\left({k+1}\right)\left({k+2}\right)}}}},$

ahol ${s\left({n,k}\right)}$ az Elsőfajú Stirling-számokat jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük

$\log \Gamma (z)=\left(z-{\frac 12}\right)\log z-z+{\frac {\log {2\pi }}{2}}$

${}+{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots ,$

ami konvergens, ha $\Re (z)>0$.

Zárt közelítések

Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.

Gosper [2]:

$n!\sim \left({{\frac {n}{e}}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi \left({n+{\frac {1}{6}}}\right)}}$

Robert H. Windschitl [3]:

$n!\sim \left({{\frac {n}{e}}{\sqrt {n\sinh {\frac {1}{n}}}}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

Nemes Gergő [4]:

$n!\sim \left({{\frac {n}{e}}\left({1+{\frac {1}{{15n^{2}}}}}\right)^{{5/4}}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

$n!\sim \left({{\frac {1}{e}}\left({n+{\frac {1}{{12n-{\frac {1}{{10n}}}}}}}\right)}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.

A faktoriális logaritmusa

A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart.

A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:

$\log n!\approx n\log n-n\,$

minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.

Lásd még

• Spouge-formula

Források

Faktoriális algoritmusok

• Faktoriális algoritmusok

Faktoriális közelítései

• Közelítő képletek

Számológépek a faktoriálishoz

• Számológépek a faktoriálishoz