Spouge-formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Spouge-formula egy közelítő képlet a Gamma-függvényre, amit John L. Spouge fejlesztett ki. Tulajdonképpen a Stirling-formula egy javított változata:

\Gamma(z+1) = (z+a)^{z+1/2} e^{-(z+a)} \left[ c_0 + \sum_{k=1}^{a-1} \frac{c_k}{z+k} + \epsilon_a(z) \right]

ahol a egy megfelelően választott pozitív egész. Az együtthatók a következőképpen számíthatóak:

c_0 = \sqrt{2 \pi}\,
c_k = \frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!} (-k+a)^{k-1/2} e^{-k+a} \quad k=1,2,\dots, a-1.

Spouge bizonyította, hogy ha Re(z) > 0 és a > 2, a relatív hiba így írható

\epsilon_a(z) \le a^{-1/2} (2 \pi)^{-(a+1/2)}.

A képlet hasonló, mint a Lánczos-formula, de vannak előnyei vele szemben. A Lánczos-formula gyorsabban konvergál ugyan, de a Spouge-féle együtthatók kiszámítása sokkal egyszerűbb, és a relatív hiba tetszőleges kicsinnyé tehető. A képlet tehát alkalmas a Gamma-függvény értékeinek tetszőleges pontosságú meghatározására.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Spouge, John L. "Computation of the gamma, digamma, and trigamma functions", SIAM Journal on Numerical Analysis 31 (1994), no. 3, 931-944.