Gamma-eloszlás

Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)={\frac {\lambda ^{p}x^{p-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (p)}},$

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív.

Speciálisan, ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ²-eloszlásúnak nevezzük, valamint az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t)=\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-p}$

A gamma-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\mathbf {E} (X)={\frac {p}{\lambda }}$

Szórása

$\mathbf {D} (X)={\frac {\sqrt {p}}{\lambda }}$

Momentumai

$\mathbf {E} (X^{k})={\frac {\Gamma (p+k)}{\Gamma (p)\lambda ^{k}}}$

Ferdesége

$\beta _{1}(X)={\frac {2}{\sqrt {p}}}\,$

Lapultsága

$\beta _{2}(X)={\frac {6}{p}}\,$

Gamma-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Gamma-eloszlású független valószínűségi változók összege is gamma-eloszlású. Pontosabban ha X₁ p₁-edrendű és X₂ p₂-edrendű gamma-eloszlású független valószínűségi változók λ paraméterrel, akkor X₁ + X₂ p₁ + p₂-edrendű gamma-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel.
• Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, … X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + … + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzés

Szokták a gamma-eloszlást Γ-eloszlásnak is írni.

További információk

• Interaktív Java szimuláció a gamma-eloszlásról és a Poisson-folyamatról. Szerzők: Kyle Siegrist és Dawn Duehring

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Arató M. (2001): Nem-élet biztosítás matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.