Valószínűségi változó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A valószínűségi változó a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.[1] Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen.[2] Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.[3]

Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a huszadik századig váratott magára, és egészen komoly függvénytani illetve mértékelméleti eszközöket használ fel.

Matematikai definíció[szerkesztés]

Az valószínűségi mező eseményterén értelmezett valós értékű függvény pontosan akkor valószínűségi változó, ha

[4]

A mértékelmélet kifejezéseivel élve ez úgy fogalmazható meg, hogy ha a valószínűségi mezőt mint mértékteret tekintjük, akkor a valószínűségi változók pontosan az A-mérhető függvények.

Tulajdonképp a definíció azt követeli meg, hogy úgy rendeljünk számokat az eseménytér elemeihez – azaz az elemi eseményekhez – hogy az így kapott függvény "jól viselkedjen" a valószínűségi mérték szerinti integrálás szempontjából. Ez a követelmény ahhoz kell, hogy a valószínűségi változó viselkedésének leírásában, vizsgálatában lehessen kamatoztatni a függvénytan olyan eszközeit, mint az integrál- vagy a differenciálszámítás. A definíció egyenes következménye, hogy a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a megszokott módon definiálható.

Megjegyzések[szerkesztés]

Általában csak szövegesen adják meg a konkrét adatokat, vagy alapértelmezettnek vesznek néhány dolgot (például: véges esetben szimmetria, az eseményalgebra a hatványhalmaz; folytonos eset: események a Borel-halmazok).

Diszkrét esetben, ha az eseményalgebra a hatványhalmaz, akkor minden függvény mérhető, ezért a mérhetőséggel nem kell foglalkozni. Folytonos esetben azonban már kell a mérhetőséget vizsgálni.

Egyes speciális eseteket mértékelméleti definíció helyett másként is be lehet vezetni.

Valós valószínűségi változók[szerkesztés]

Valós valószínűségi változók esetén az eseménytér , események a Borel-halmazok. Ezzel az általános definíció így alakul:

A valós valószínűségi változó egy függvény, ami minden kimeneteléhet hozzárendel egy valós számot, továbbá teljesíti a mérhetőségi kikötést:

Szavakkal, ez azt fejezi ki, hogy azoknak a kimeneteleknek a halmaza, amelyek realizációja egy érték alá esik, esemény.

A példában ilyen a két kockával dobás , és valószínűségi változó.

Valószínűségi vektorváltozók[szerkesztés]

Egy valószínűségi vektorváltozó egy leképezés, ahol dimenzió. Ekkor koordinátái valószínűségi változók, amelyek ugyanazon az eseménytéren vannak definiálva. Ekkor eloszlása többdimenziós, és az koordináták eloszlása peremeloszlás. A várható érték és a szórásnégyzet (vigyázat, nem szórás!) megfelelői többdimenziós eloszlás esetén a várható értékek vektora és a kovarianciamátrix.

A példában kétdimenziós eloszlású valószínűségi változó.

A valószínűségi vektorváltozók nem tévesztendők össze a valószínűségi vektorral. A valószínűségi vektorok adott esetén elemű halmaz elemei közötti átmenetek valószínűségeit írják le; elemei, minden koordinátájuk pozitív, és összegük 1.

Komplex valószínűségi változók[szerkesztés]

A komplex eset nem különbözik lényegesen a valós kétdimenziós esettől. A képtér , ezen az események a és kanonikus megfeleltetésből adódó Borel-halmazok. komplex valószínűségi változó, ha és is valós valószínűségi változó.

Példák[szerkesztés]

Pénzfeldobás[szerkesztés]

A pénzfeldobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

  • az eseménytér a fej és az írás elemekből áll:
,
  • a valószínűségi mérték a következő:

Ekkor valószínűségi változó például a következő függvény:

Ez a valószínűségi változó az 1 értéket veszi fel, ha fejet dobunk és a 2 értéket, ha írást.

Kockadobás[szerkesztés]

Hasonlóan a kockadobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

  • az eseménytér 6 elemből áll, az egyes dobásból, a kettes dobásból, … a hatos dobásból
  • az események σ-algebrája most is az összes részhalmazából áll,
  • a valószínűségi mérték most a következő: bármely esetén
vagyis a minden elemi eseményhez 1/6 valószínűséget rendel, és az olyan eseményekhez, melyek elemi eseményt tartalmaznak, -ot.

A kockadobást leíró valószínűségi változót kapunk a következő függvénnyel: olyan, hogy az "egyes dobás" elemi eseményéhez az 1-es számot, a "kettes dobás" elemi eseményéhez a 2-es számot stb. a "hatos dobás" elemi eseményéhez a 6-os számot rendeli.

Ez a valószínűségi változó mindig azt az egész számot veszi fel, amit dobtunk. Azt is lehet látni, hogy ha nem pont az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz lenne az értékkészlete X-nek, hanem például a {2, 4, 6, 8, 10, 12} akkor is a kockadobás véletlen kimeneteit modellezné csak más értékekkel.

Dobás két kockával[szerkesztés]

Két kockán dobott számok összege:

Két, egymástól megkülönböztethető kockával való dobás modellezhető a következő valószínűségi térrel:

  • a 36 kimenetel:
  • az hatványhalmaza
  • Ha feltesszük, hogy a kockák szabályosak, akkor az összes kimenetel valószínűsége ugyanaz. Ekkor a valószínűségi mérték ha .

A következőkben az az első, a második kockával dobott szám, pedig az összegük. Ezek definíciója a következő:

  1. és

ahol a valós számokon értelmezett Borel-algebra.

Eloszlás[szerkesztés]

A valószínűségi változóhoz kapcsolódik a képtéren indukált valószínűségi eloszlás. A két fogalmat szinonímaként is használják. Formálisan, ha valószínűségi változó, akkor eloszlását mint a valószínűség képmértékét értelmezik, azaz

minden esetén,

ahol az valószínűségi változó képterében adott σ-algebra is. A jelölés mellett előfordul és is.

Például ha normális eloszlású valószínűségi változóról van szó, akkor azzal egy valós értékű valószínűségi változóra gondolnak, aminek eloszlása egy normális eloszlásnak felel meg.

A valószínűségi tulajdonságok kifejezhetők csak a valószínűségi változók közös eloszlása alapján. Nem szükséges ehhez ismerni a valószínűségi mezőt, amin a valószínűségi változók definiálva vannak.

Gyakran eloszlás- vagy sűrűségfüggvényükkel adják meg a valószínűségi változókat, háttérben hagyva a valószínűségi mezőt. Ez a felfogás megengedett a matematikában, mindaddig, amíg valóban létezik az adott eloszláshoz valószínűségi mező. Azonban a konkrét eloszlás ismeretében konstruálható valószínűségi mező, ahol , a Borel-halmazok σ-algebrája, és az eloszlásfüggvény által generált Lebesgue-Stieltjes-mérték. A valószínűségi változó az identikus leképezés: .[5]

Több, de véges sok valószínűségi változó esetén is elég a közös eloszlásfüggvényt megadni, a valószínűségi mezőt háttérben hagyva. Megszámlálható végtelen sereget megadva elég véges halmazok közös eloszlásfüggvényeit megadni. Maga a valószínűségi mező kevésbé kérdéses, mint az, hogy létezik-e közös valószínűségi mező megszámlálható végtelen esetben. Független esetben a kérdést Émile Borel oldotta meg, az egységintervallum és a Lebesgue-mérték felhasználásával. Egy lehetséges bizonyítás a kettes számrendszerben írt számok kettedesjegyeit egymásba skatulyázott Bernoulli-folyamatoknak tekinti (a Hilbert-hotelhez hasonlóan).[6]

Az eloszlás a valószínűségi változó egyik legfontosabb függvénye, ami arról tájékoztat, hogy az milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel, vagy hogy egy megadott intervallumba esésnek mekkora a valószínűsége, például hogy kockával legfeljebb négyest dobunk.

Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény megkönnyíti annak kiszámítását, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a változó egy adott intervallumba esik. További jellemző értékek a várható érték, a szórás és a magasabb rendű momentumok.

A valószínűségi változók két nagy osztálya[szerkesztés]

A valószínűségi változók két leggyakrabban emlegetett fajtája a diszkrét és a folytonos valószínűségi változó. Szemléletesen a diszkrét valószínűségi változó olyan, ami elkülönült értékeket tud csak felvenni, a folytonos pedig olyan, ami – legalább egy intervallumon – bármilyen értéket felvehet. Diszkrét valószínűségi változó például az, ami egy kockadobás eredményét írja le, vagy azt, hogy egy üzletbe következőnek betoppanó 8 vendég közül hány férfi. Ezzel szemben folytonosnak tekinthető az a valószínűségi változó, ami azt írja le, hogy az ugyanebbe az üzletbe betoppanó következő vevő milyen magas, vagy hogy egy fáról leszüretelt őszibarack mekkora súlyú, hisz ezek a változók – legalább is egy intervallumon – akármilyen értéket felvehetnek. (Ez a bekezdés csak szemlélteti a folytonos valószínűségi változók fogalmát, és nem teljesen pontos. A precíz matematikai meghatározás a bekezdés alján megadott szócikkben található.) A konstans valószínűségi változó is diszkrét (elfajult eloszlású): minden esetén.

Fontos megjegyezni, hogy nem csak diszkrét és folytonos valószínűségi változók vannak, tehát ez a két osztály nem adja a valószínűségi változók osztályának partícióját. Se nem folytonos, se nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a következő kísérletet írja le: feldobunk egy pénzérmét, ha az eredmény fej, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 2 ha írás, akkor a valószínűségi változó vegyen fel egy számot véletlenszerűen a [0,1] intervallumon (egyenletes eloszlás szerint).

A folytonos és a diszkrét valószínűségi változókat azért érdemes elkülöníteni a valószínűségi változók nagy osztályából, mert ez a két osztály sok szempontból nagyon jól – és egymástól nagyon eltérően – viselkedik. A várható érték kiszámítására például a diszkrét valószínűségi változók esetében speciális és könnyen számolható képlet adódik, sűrűségfüggvénye pedig csak folytonos valószínűségi változónak lehet.

A pontos matematikai definíciókat az alábbi szócikkek tartalmazzák:

Valószínűségi változó további tulajdonságai[szerkesztés]

Folytonosság[szerkesztés]

Egy valószínűségi változót több okból nevezhetnek folytonosnak.

  • Ha van sűrűségfüggvénye. Ez azt jelenti, hogy eloszlásfüggvénye abszolút folytonos a Lebesgue-mérték szerint.[7]
  • Ha eloszlásfüggvénye folytonos.[8] Ez azt jelenti, hogy minden valószínűsége nulla,

Mérhetőség[szerkesztés]

Ha valószínűségi változó az eseménytéren, és adva van a mérhető függvény, akkor is valószínűségi változó az eseménytéren, mivel mérhető függvények kompozíciója szintén mérhető. A függvényt transzformációjának nevezik.

Ekkor eloszlásfüggvénye

.

Az valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változó várható értéke:

.

Integrálhatóság és kvázi-integrálhatóság[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó integrálható, ha várható értéke létezik és véges. Kvázi-integrálható, ha van várható értéke, de ennek nem kell végesnek lennie. Az integrálható változó kvázi-integrálható is.

Példa a transzformációra[szerkesztés]

Legyen valós, folytonos eloszlású valószínűségi változó, és . Ekkor

Esetszétválasztás szerint:

Standardizálás[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó standardizált, ha várható értéke 0 és szórása 1. Egy valószínűségi változó standardizáltja:

Ez az valószínűségi változót standard valószínűségi változóvá való transzformálása.

Egyebek[szerkesztés]

  • Időben összefüggő valószínűségi változók sztochasztikus folyamatként foghatók fel.
  • Egy valószínűségi változó realizációinak sorozatát véletlen sorozat.
  • Egy valószínűségi változó generálja az σ-algebrát, ahol az tér Borel-algebrája.

Több valószínűségi változó kapcsolata[szerkesztés]

Függetlenség[szerkesztés]

Két valószínűségi változó, független, ha bármely két intervallum, és esetén az és események függetlenek. Ekkor .

A két kockával dobást bemutató példában és függetlenek, de és nem. Például, ha akkor nem lehet 2 vagy 3.

Több valószínűségi változó, függetlensége azt jelenti, hogy az valószínűségi vektorváltozó valószínűsége megfelel a szorzatmértékének.[9]

Például a három kockával való dobás esetén értelmezhető az valószínűségi mező mint:

,
az hatványhalmaza és

Ekkor a -adik kockával dobás eredménye

ha .

Szintén lehetséges konstruálni adott eloszlású független valószínűségi változók tetszőleges családjának megfelelő valószínűségi mezőt.[10]

Azonos eloszlás[szerkesztés]

Két vagy több valószínűségi változó azonos eloszlású, ha indukált valószínűségeloszlásaik megegyeznek. A két kockával való dobás , valószínűségi változói azonos eloszlásúak, de és nem.

Függetlenség és azonos eloszlás[szerkesztés]

Gyakran vizsgálják valószínűségi változók sorozatát, amelyek függetlenek és azonos eloszlásúak; ezeket független azonos eloszlású valószínűségi változóknak nevezik.

Három kockával való dobáskor , és független azonos eloszlású valószínűségi változók. Az első két kockával dobás összege és a második és harmadik kockával dobás összege azonos eloszlású, de nem független. Ezzel szemben és független, de nem azonos eloszlású.

Felcserélhetőség[szerkesztés]

Valószínűségi változók felcserélhető családjai azok a családok, ahol az eloszlások változatlanok maradnak, ha a családban véges sok valószínűségi változót felcserélnek. Ez megköveteli az azonos eloszlást, de a függetlenséget nem.

A valószínűségi változót jellemző függvények[szerkesztés]

A valószínűségi változót jellemző értékek[szerkesztés]

Fontosabb valószínűségi eloszlások[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
  2. Jörg Bewersdorff. [eingeschränkte Vorschau a Google Könyvekben Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen], 6., Wiesbaden: Springer Spektrum (2012). ISBN 978-3-8348-1923-9 
  3. David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 
  4. Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)
  5. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.
  6. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.
  7. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.
  8. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.
  9. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)
  10. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.

Források[szerkesztés]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Jánossy L. (1965): A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Kleinrock L. (1979): Sorbanállás, kiszolgálás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.
  • Vetier A. (1991): Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4.
  • Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9.
  • Michel Loève: Probability Theory I. 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zufallsvariable című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.