A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
B változat
A siker előtti sikertelen kísérletek számának az eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
A két változat összefüggése .
A geometriai eloszlás felhasználható:
egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása
Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége .
Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha
A változat
annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan kísérletre van szükség,
B változat
annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan sikertelen kísérlet legyen
A geometriai eloszlást jellemző számok[szerkesztés]
A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.
A változat:
B változat:
A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
Az független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege
A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.
Legyenek az geometrikus valószínűségi változók paraméterei , és legyen egy pozitív λ konstansra. Ekkor a sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.
A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.
A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:
.
ahol , mivel az eloszlásfüggvény .
Az várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint . Ezzel :, tehát .
n kísérletből várhatóan lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő