A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:
- A változat
- A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek
számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a
halmazon értelmezett.
- B változat
- A siker előtti sikertelen kísérletek
számának az eloszlása. Ez az eloszlás a
halmazon értelmezett.
A két változat összefüggése
.
A geometriai eloszlás felhasználható:
- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
- a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása
Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük
-vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége
.
Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha
- A változat
- annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan
kísérletre van szükség,

- B változat
- annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan
sikertelen kísérlet legyen

Várható értéke:
A változat:

B változat:
.
Szórása:
Mindkét változat szórása:
.
Ferdesége:
.
Lapultsága:
.
- A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.
A változat:

B változat:

- A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor
nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
- Az
független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.
A változat:
.
B változat:
.
A változat:

B változat:
.
A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.
Legyenek az
geometrikus valószínűségi változók paraméterei
, és legyen
egy pozitív λ konstansra. Ekkor a
sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.
A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.
A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:
.

ahol
, mivel az eloszlásfüggvény
.
- Az
várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint
. Ezzel :
, tehát
.
- n kísérletből várhatóan
lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő
, vagyis
.
A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|