Geometriai eloszlás

A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat

A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek $X$ számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a $\{1,2,3,\dots \}$ halmazon értelmezett.

B változat

A siker előtti sikertelen kísérletek $Y$ számának az eloszlása. Ez az eloszlás a $\{0,1,2,\dots \}$ halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése $X=Y+1$.

A geometriai eloszlás felhasználható:

• egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
• a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

Meghatározás

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük $p$ -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége $q=1-p$.

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat

annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan $n$ kísérletre van szükség,

$\operatorname {P} (X=n)=p(1-p)^{n-1}=pq^{n-1}\quad (n=1,2,\dots )$

B változat

annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan $n$ sikertelen kísérlet legyen

$\operatorname {P} (Y=n)=p(1-p)^{n}=pq^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )$

A geometriai eloszlást jellemző számok

Várható értéke:

A változat:

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$

B változat:

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X)-1={\frac {1-p}{p}}$.

Szórása:

Mindkét változat szórása:

$\mathbf {D} (X)={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}$.

Ferdesége:

$\operatorname {v} (X)=\operatorname {v} (Y)={\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$.

Lapultsága:

$\beta _{2}={\frac {p^{2}-6p+6}{1-p}}$.

Tulajdonságok

• A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.

A változat:

$\operatorname {P} (X=n+k\,|\,X>n)=\operatorname {P} (X=k)\quad n,k=1,2,\dots$

B változat:

$\operatorname {P} (Y=n+k\,|\,Y\geq n)=\operatorname {P} (Y=k)\quad n,k=0,1,2,\dots$

• A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor ${\frac {U+V-a}{b}}$ nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
• Az $X_{1},\dots ,X_{k},$ független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege

$X=\sum _{i=1}^{k}X_{i},$

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.

• A geometriai eloszlások karakterisztikus függvényei:

A változat:

$\phi _{X}(s)={\frac {pe^{is}}{1-(1-p)e^{is}}}$.

B változat:

$\phi _{Y}(s)={\frac {p}{1-(1-p)e^{is}}}$.

• A geometriai eloszlások generátorfüggvényei:

A változat:

$m_{X}(s)={\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}$

B változat:

$m_{Y}(s)={\frac {p}{1-(1-p)e^{s}}}$.

Kapcsolat más eloszlásokkal

Negatív binomiális eloszlás

A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

Exponenciális eloszlás

Legyenek az $X_{1},X_{2},X_{3}\ldots$ geometrikus valószínűségi változók paraméterei $p_{1},p_{2},p_{3}\ldots$, és legyen $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ egy pozitív λ konstansra. Ekkor a ${\frac {X_{n}}{n}}$ sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.

A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.

Levezetések

A várható érték levezetése

A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:

• $\operatorname {E} (X)=p\sum _{k=1}^{\infty }k\,(1-p)^{k-1}=p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} (1-p)}}\sum _{k=1}^{\infty }\,(1-p)^{k}=-p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }\,(1-p)^{k}\right)=-p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{p}}$.

• $\operatorname {E} (X)=\sum _{k=1}^{\infty }kp(1-p)^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)p(1-p)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kp(1-p)^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=(1-p)\operatorname {E} (X)+1\Rightarrow \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$

ahol $\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=1$, mivel az eloszlásfüggvény $p(1-p)^{k-1}$.

• Az $\operatorname {E} (X)$ várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint $\operatorname {E} (X)$. Ezzel :$\operatorname {E} (X)=p\cdot 1+(1-p)\cdot (1+\operatorname {E} (X))=1+(1-p)\cdot \operatorname {E} (X)$, tehát $\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$.
• n kísérletből várhatóan $n\cdot p$ lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő

${\frac {n}{n\cdot p}}$, vagyis $\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$.

A szórás levezetése

A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.

$\operatorname {\sigma ^{2}} (X)$	$=E(X^{2})-E(X)^{2}=p\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(1-p)^{k-1}-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p\sum _{k=1}^{\infty }k(k+1)(1-p)^{k-1}-p\sum _{k=1}^{\infty }k(1-p)^{k-1}-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} p^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k+1}+p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k}-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} p^{2}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}\cdot (1-p)^{2}\right)+p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}\cdot (1-p)\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} p^{2}}}\left({\frac {1}{1-(1-p)}}\cdot (1-p)^{2}\right)+p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left({\frac {1}{1-(1-p)}}\cdot (1-p)\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} p^{2}}}\left({\frac {(1-p)^{2}}{p}}\right)+p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left({\frac {1-p}{p}}\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
	$=p\cdot {\frac {2}{p^{3}}}-p\cdot {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}$.

Források

• A geometriai eloszlás a MathWorld-ön
• A geometriai eloszlás a PlanetMath-en
• Geometriai eloszlás kalkulátor