Geometriai eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat
A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
B változat
A siker előtti sikertelen kísérletek számának az eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése .

A geometriai eloszlás felhasználható:

  • egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
  • a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

Meghatározás[szerkesztés]

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége .

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat
annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan kísérletre van szükség,
B változat
annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan sikertelen kísérlet legyen

A geometriai eloszlást jellemző számok[szerkesztés]

Várható értéke:

A változat:

B változat:

.

Szórása:

Mindkét változat szórása:

.

Ferdesége:

.

Lapultsága:

.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.

A változat:

B változat:

  • A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
  • Az független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.

A változat:

.

B változat:

.

A változat:

B változat:

.

Kapcsolat más eloszlásokkal[szerkesztés]

Negatív binomiális eloszlás[szerkesztés]

A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

Exponenciális eloszlás[szerkesztés]

Legyenek az geometrikus valószínűségi változók paraméterei , és legyen egy pozitív λ konstansra. Ekkor a sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.

A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.

Levezetések[szerkesztés]

A várható érték levezetése[szerkesztés]

A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:

  • .

ahol , mivel az eloszlásfüggvény .

  • Az várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint . Ezzel :, tehát .
  • n kísérletből várhatóan lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő
, vagyis .

A szórás levezetése[szerkesztés]

A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.

.

Források[szerkesztés]