Generátorfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Definíció: Adott r_0, r_1, \dots, r_i, \dots sorozat generátorfüggvénye az R(x)= \sum_{i=0}^\infty r_ix^i.

A generátorfüggvényt használjuk a matematikai rekurziók n-edik tagjának meghatározására, mint például a Fibonacci-számoknál.

A statisztikában és a valószínűség-számításban a diszkrét valószínűségi változók számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:

G_\chi(z)= \sum_{k=0}^\infty p_kz^k (itt χ jelöli a valószínűségi változót, p_k pedig a P(\chi=k) valószínűséget).

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kapcsolat a várható értékkel: G_\chi(z)= \bold Ez^\chi
  • A generátorfüggvény hatványsora abszolút konvergens a |z|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény differenciálható, a deriválás tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül.
  • A generátorfüggvény és az eloszlás kölcsönösen meghatározza egymást. Ez a kapcsolat folytonos. A generátorfüggvény k-adik deriváltjával:
p_k=\frac{G_\chi(x)^{(k)}(0)}{k!}
  • Ha a hatványsor nagyobb körben is konvergál, akkor:
G'_\chi(z)= \sum_{k=1}^\infty kp_kz^{k-1}= \sum_{k=0}^\infty kp_kz^{k-1}
G'_\chi(1)=\bold E\chi
  • Tetszőleges r-re:
G^{(r)}_\chi(z)= \sum_{k=r}^\infty k(k-1)\dots (k-r+1)p_kz^{k-r}= \sum_{k=0}^\infty k(k-1)\dots (k-r+1)p_kz^{k-r}
  • Ha r=2:
G^{(2)}_\chi(z)= \sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_kz^{k-2}= \sum_{k=0}^\infty k(k-1)p_kz^{k-2}
G^{(2)}_\chi(1)=\bold E\chi^2-\bold E\chi
  • A generátorfüggvény r-szeri deriválhatósága balról x=1-ben ekvivalens az összes momentum létezésével egészen az r-edik momentumig.
  • A generátorfüggvény és a konvolúció kapcsolata:
G_{\chi+\eta}(z)= G_\chi(z)G_\eta(z)

Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


G(z)
=
(1-p+pz)^n
\,
G_\chi(z)=e^{\lambda (z-1)}\,
G_\chi(z)=\frac{p}{1-(1-p)z}=\frac{p}{1-qz} (ahol q=1-p)
G_\chi(z)=\left(\frac{p}{1 - (1-p)z}\right)^r=\left(\frac{1-q}{1-qz}\right)^r (ahol q=1-p)

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]