Várható érték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változó várható értéke



amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha eloszlásfüggvénye , akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:


Az valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámítására[szerkesztés]

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.
  • Ha diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most , , a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre , azaz , ekkor várható értékét az
képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés]

  • Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha , akkor .
  • A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha és azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely esetén
(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)
  • Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha és független valószínűségi változók, akkor
  • Ha abszolút folytonos valószínűségi változó és mérhető függvény, akkor

Megjegyzések[szerkesztés]

  • Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

Források[szerkesztés]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.