Várható érték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A várható értéket a matematikai statisztikában használjuk. Feladata a mért értékek populációjának jellemzését egyetlen, azt jól közelítő értékkel leírni. Erre szolgál a számtani közép, illetve az alábbiakban ismertetett várható érték. Kiszámítása lehetővé teszi a súlyozott számtani középarányos kiszámítását és értelmezését folytonos értékkészletű változóknál is. Változóként angol eredetiből származtatva az E betűvel jelöljük (Expectation).

Leírása[szerkesztés]

Az valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változó várható értéke

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha eloszlásfüggvénye , akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:

Az valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámítására[szerkesztés]

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.
  • Ha diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most , , a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre , azaz , ekkor várható értékét az
képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés]

  • Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha , akkor .
  • A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha és azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely esetén
(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)
  • Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha és független valószínűségi változók, akkor
  • Ha abszolút folytonos valószínűségi változó és mérhető függvény, akkor

Megjegyzések[szerkesztés]

  • Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

Források[szerkesztés]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.