Lineáris leképezés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor vagy lineáris transzformáció) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval, vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések (például forgatás, nyújtás, merőleges affinitás), melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Linearitás[szerkesztés]

Ha tehát V és U a T test feletti vektortér, akkor az : V U leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1, v2V vektorra illetve λ ∈ T elemre és vV vektorra:

additivitás
homogenitás

Ez még úgy is megfogalmazható, hogy megtartja a lineáris kombinációt, azaz minden λ1, λ2, … , λn T-beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

, , , ,,

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy : V U egy T feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés T-lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a C C, konjugálás ugyan R-lineáris, de nem C-lineáris.

A V T típusú lineáris leképezéseket (a térből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

Minden lineáris leképezés a 0 elemet a képtér 0 elemébe képezi. Ha : V U, akkor

Lineáris leképezések tere[szerkesztés]

Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában

-val vagy -val jelölik.

A Hom rövidítés nyilván a vektortér homomorfizmusra utal.

A Hom(V;V) tér (V V vektortér automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak, a kompozíció műveletével, mint szorzással.

A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval, mint művelettel csoportot, a V-feletti lineáris csoportot, azaz -t alkotják.

Leképezések fajtái:

  • Monomorfizmus. V U injektív lineáris homomorfizmus.
  • Epimorfizmus. V U szűrjektív lineáris homomorfizmus.
  • Izomorfizmus. V U bijektív lineáris homomorfizmus.
  • Endomorfizmus. V V lineáris homomorfizmus.
  • Automorfizmus. V V bijektív lineáris homomorfizmus.

Koordináta reprezentáció[szerkesztés]

Előírhatósági tétel[szerkesztés]

Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1,b2,…,bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz = .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez véges térbe, a képtér n vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa[szerkesztés]

Ha a képtér m dimenziós, akkor ez összesen m n darab (szám)adat. Rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a koordinátamátrixa, melyen a következő m × n -es mátrixot értjük:

ahol B = (b1,b2,…,bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Tn vektortér (például Rn) sztenderd bázisáról van szó, azaz a

vektorrendszerről.

Ezzel a képvektorok koordinátáit a következő mátrixszorzással számíthatjuk ki:

Operátorműveletek és mátrixműveletek[szerkesztés]

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.

  • Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:
  • Összeadás
  • Skalárszoros

Források[szerkesztés]