Lineáris leképezés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Definíciók[szerkesztés]

Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2V vektorra, illetve minden λ elemre és vV vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

  • additivitás:
  • homogenitás:

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

.

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.

A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

módon definiált képtér esetén
.

Jelölése[szerkesztés]

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

, , , ,,

Fajtái[szerkesztés]

  • Monomorfizmus: injektív lineáris homomorfizmus
  • Epimorfizmus: szürjektív lineáris homomorfizmus
  • Izomorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
  • Endomorfizmus: lineáris homomorfizmus
  • Automorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha , akkor . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.

Mátrixreprezentáció[szerkesztés]

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Előírhatósági tétel[szerkesztés]

Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa[szerkesztés]

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a mátrix összesen m n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha típusú, akkor csak -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a n-dimenziós vektortér (például ) bázisaként az (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

Hasonló mátrixok[szerkesztés]

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: AB), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

.

Bizonyítható állítások:

  • Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
  • A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
  • Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Lineáris leképezések tere[szerkesztés]

Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

Operátorműveletek és mátrixműveletek[szerkesztés]

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:

  • Összeadás
  • Skalárszorzás

ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.

Dimenziótétel[szerkesztés]

Példák[szerkesztés]

Síkbeli lineáris transzformációk és felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:

  • identitás
  • forgatás az origó körül
    • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
    • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
  • tükrözés
    • az x-tengelyre:
    • az y-tengelyre:
  • kétszeres nagyítás:
  • vízszintes nyírás:
  • hiperbolikus forgatás:
  • merőleges vetítés az y-tengelyre:

Nem lineáris transzformáció:

  • eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

Források[szerkesztés]