Lineáris leképezés
Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha
- két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
- egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.
Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.
A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.
Definíciók[szerkesztés]
Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2 ∈ V vektorra, illetve minden λ ∈ elemre és v ∈ V vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:
- additivitás:
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vn ∈ V vektorra:
- .
Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.
A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.
A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz
- módon definiált képtér esetén
- .
Jelölése[szerkesztés]
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
- , , , ,,
Fajtái[szerkesztés]
- Monomorfizmus: injektív lineáris homomorfizmus
- Epimorfizmus: szürjektív lineáris homomorfizmus
- Izomorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
- Endomorfizmus: lineáris homomorfizmus
- Automorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
Tulajdonságai[szerkesztés]
- Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha , akkor . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
Mátrixreprezentáció[szerkesztés]
Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.
Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).
Előírhatósági tétel[szerkesztés]
Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz .
Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.
Leképezés mátrixa[szerkesztés]
Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:
ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a mátrix összesen m n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha típusú, akkor csak -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a n-dimenziós vektortér (például ) bázisaként az (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:
Hasonló mátrixok[szerkesztés]
Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.
Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: A ∼ B), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre
- .
Bizonyítható állítások:
- Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
- A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
- Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.
Lineáris leképezések tere[szerkesztés]
Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.
A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.
A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).
Operátorműveletek és mátrixműveletek[szerkesztés]
A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:
- Összeadás
- Skalárszorzás
ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.
Dimenziótétel[szerkesztés]
Példák[szerkesztés]
Síkbeli lineáris transzformációk és felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:
- identitás
- forgatás az origó körül
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tükrözés
- az x-tengelyre:
- az y-tengelyre:
- az x-tengelyre:
- kétszeres nagyítás:
- vízszintes nyírás:
- hiperbolikus forgatás:
- merőleges vetítés az x-tengelyre:
- merőleges vetítés az y-tengelyre:
Nem lineáris transzformáció:
- eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)
Források[szerkesztés]
- PlanetMath: Linear transformation Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Encyclopaedia of Mathematics: Linear operator
- MathWorld: Linear Transformation