Lineáris leképezés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex test vagy a kvaterniók feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Definíciók[szerkesztés]

Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2V vektorra, illetve minden λ elemre és vV vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

  • additivitás:
  • homogenitás:

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

.

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.

A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

módon definiált képtér esetén
.

Magyarázat[szerkesztés]

Egy leképezés lineáris, ha megőrzi a vektortér szerkezetét, vagyis az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek vektorok a vektortérben! Ekkor, ha , akkor , így az összegzés átvihető az értékkészletre:

A következtetés egyszerűsíthető, ha elvégezzük a behelyettesítését az összegbe: . Hasonlóan írható le a skalárral szorzás is. Ez teljesül, hogyha követi és kapcsolatát, vagyis az értékkészletben is fennáll:

Elvégezve a helyettesítését az következménybe kapjuk, hogy .

Jelölése[szerkesztés]

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

, , , ,,

Fajtái[szerkesztés]

  • Monomorfizmus: injektív lineáris homomorfizmus
  • Epimorfizmus: szürjektív lineáris homomorfizmus
  • Izomorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
  • Endomorfizmus: lineáris homomorfizmus
  • Automorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus

Mag és kép[szerkesztés]

A mag és a kép lineáris leképezések szempontjából fontos vektorterek. Legyen lineáris leképezés! Ekkor:

  • Az kép az szerinti képvektorok halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek előállnak, mint , ahol . Úgy is jelzik, mint . Ez a halmaz a altere. Úgy is nevezik, hogy képtere.
  • A mag azoknak a -beli vektoroknak a halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek nullvektorára képeződnek le. Ez a mag altér -ben. Az leképezés pontosan akkor injektív, ha csak a nullvektort tartalmazza. Úgy is nevezik, mint magtere.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha , akkor . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
  • Egy lineáris leképezés esetén a mag és a kép kapcsolatát a homomorfiatétel írja le: a faktortér izomorf a képpel.

Mátrixreprezentáció[szerkesztés]

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Előírhatósági tétel[szerkesztés]

Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa[szerkesztés]

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a mátrix összesen m n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha típusú, akkor csak -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a n-dimenziós vektortér (például ) bázisaként az (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

Hasonló mátrixok[szerkesztés]

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: AB), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

.

Bizonyítható állítások:

  • Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
  • A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
  • Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Lineáris leképezések tere[szerkesztés]

Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

Operátorműveletek és mátrixműveletek[szerkesztés]

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:

  • Összeadás
  • Skalárszorzás

ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.

Dimenziótétel[szerkesztés]

A dimenziótétel kimondja, hogy a -t -be képező lineáris leképezés magjának és képének dimenziójának összege megegyezik

Példák[szerkesztés]

esetén a lineáris leképezések alakja , ahol .

Ha nyílt intervallum, az intervallumon folytonosan differenciálható valós értékű függvények vektortere, és az intervallumon folytonos valós értékű függvények tere! Ekkor
, ,
vagyis a deriválás lineáris leképezés. Hasonlóak teljesülnek más lineáris differenciáloperátorokra.

Síkbeli lineáris transzformációk és felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:

  • identitás
  • forgatás az origó körül
    • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
    • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
  • tükrözés
    • az x-tengelyre:
    • az y-tengelyre:
  • kétszeres nagyítás:
  • vízszintes nyírás:
  • hiperbolikus forgatás:
  • merőleges vetítés az x-tengelyre:
  • merőleges vetítés az y-tengelyre:

Nem lineáris transzformáció:

  • eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

Véges terek közötti lineáris leképezések[szerkesztés]

Bázis[szerkesztés]

Egy lineáris leképezést egy bázis vektorainak képe egyértelműen meghatározza. Legyenek bázis -ben, és legyenek vektorok -ben! Ekkor pontosan egy lineáris leképezés van, ami -et -re, -t -re, …, -t -re képéezi. Ha tetszőleges vektor -ben, akkor egyértelműen előáll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

Itt a vektor koordinátái a bázisban. Képvektora, előáll, mint

Az leképezés pontosan akkor injektív, ha a vektorok lineárisan függetlenek. Pontosan akkor szürjektív, ha generátorrendszer -ben.

Ha a minden eleméhez tetszőleges vektorokat rendelünk -ből, akkor a fenti képlettel egyértelműen kiterjeszthető lineáris leképezéssé.

Ha a vektorok bázist alkotnak -ben, akkor ezzel megalkotható a lineáris leképezés mátrixa a két bázisra vonatkozóan.

Mátrixábrázolás[szerkesztés]

Ha és véges dimenziós vektorterek, , , és bázisa -nek, illetve bázisa -nek. Ekkor minden lineáris leképezés ábrázolható -es mátrixként. Ez megkapható a következő módon:

A bázis minden bázisvektorához hozzárendelt vektort előállítjuk a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

Az , , koordináták az mátrix komponensei:

A -edik oszlop tartalmazza koordinátáit a bázisban.

Ezzel a mátrixszal minden vektor képvektora kiszámítható:

Az képvektor koordinátáira vonatkozóan szintén teljesül -re vonatkozóan, hogy .

Ez kifejezhető mátrixszorzásként:

Az mátrix az leképezés mátrixa. Az mátrix más írásmódjai: és .

Végtelen dimenziós vektorterek közötti leképezések[szerkesztés]

A funkcionális analízis keretében a végtelen dimenziós vektorterekben a lineáris leképezéseket lineáris operátoroknak nevezik. Többnyire teljes normált terek közötti leképezéseket vizsgálnak; ezek Banach-terek. Mivel a Baire-féle kategóriatétel szerint az efféle tereknek nincs megszámlálható bázisa, azért nem elég a leképezéseket egy bázison keresztül tanulmányozni. Hogy egyáltalán létezik valamilyen bázis, azt csak a kiválasztási axióma biztosítja. Ehelyett más bázisfogalmat használnak, mint az ortonormált bázis vagy az általánosabb Schauder-bázis. Így bizonyos operátorok, mint a Hilbert-Schmidt-operátorok ábrázolhatók végtelen mátrixokkal, és végtelen lineáris kombinációkkal.

A lineáris leképezések vektortere[szerkesztés]

Legyenek és a test fölötti vektorterek! Ekkor használják a vagy az jelölést a lineáris leképezéseinek -be menő halmazára. Ez szintén vektortér a test fölött, ami a -ből -be menő leképezések altere.

Ez azt jelenti, hogyha és lineáris leképezések, akkor összegük szintén lineáris leképezés:

és egy lineáris leképezés skalárszorosa is lineáris leképezés:

ahol .

Ha dimenziója , és dimenziója , illetve adva van -ben egy bázis, és -ben egy bázis, akkor az

leképezés izomorfizmus a mátrixtérben. Az vektortér dimenziója .

Speciálisan, ha , akkor a lineáris leképezések egymás utáni elvégzéssel szorozhatók is, amivel asszociatív algebrát alkotnak, amelyet jelöl.

Általánosítás[szerkesztés]

Egy lineáris leképezés egy speciális affin leképezés.

Ha test helyett gyűrű fölött vizsgálódunk, akkor modulhomomofizmust kapunk.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.