Általános lineáris csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és -vel jelöljük a (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha véges dimenziós vektortér a test felett, akkor szokás a vagy a jelölést használni helyett (ahol a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a feletti -dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha véges test, amelynek elemszáma , akkor a helyett szokásos a jelölés is. (Itt nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja[szerkesztés]

A véges dimenziós esetben elemei megfeleltethetők feletti -es invertálható mátrixoknak, és így megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a elemeivel való számolást.

Példák[szerkesztés]

  • a sík lineáris transzformációinak csoportja.
  • a nyolcelemű test feletti -as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

Elemszám[szerkesztés]

Ha végtelen test, vagy végtelen dimenziós, felett, akkor végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén is véges, mégpedig

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány -es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma . A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoport[szerkesztés]

Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje
2 1 Triviális csoport
3 1 , ötelemű ciklikus csoport
4 1 , ötelemű ciklikus csoport
5 1 , ötelemű ciklikus csoport
2 2 , harmadfokú szimmetrikus csoport
3 2 általános lineáris csoport
4 2 alternáló csoport
5 2 általános lineáris csoport
2 3 általános lineáris csoport

Forrás[szerkesztés]