Determináns (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A determináns a valós, négyzetes mátrixokhoz rendelt valós szám, ahol a hozzárendelés egy függvényként van definiálva. Tulajdonságai levezethetőek a valós számok, mint test, tulajdonságaiból, így általánosabban is bevezethető a fogalom. Sok hasznos alkalmazása van. A vegyes szorzat általánosításának tekinthető.

Definíció (axiomatikusan)[szerkesztés]

Legyen test, függvény és négyzetes mátrix. Jelölje az mátrix -edik oszlopát. -t a mátrix determinánsának nevezzük, ha teljesül az alábbi négy axióma:

1. homogén, azaz: ;
2. additív, ;
3. a mátrix két oszlopát megcserélve a determináns -szeresére változik, ;
4. az egységmátrix determinánsa , ,

ahol:

  • skalár, vektor,
  • rendre a vektortéren definiált skalárral való szorzás és additív művelet,
  • a test multiplikatív műveletének egységeleme és pedig az elem additív inverze,
  • pedig az -edik egységvektor.

A függvény egy funkcionál. Az első két megkötéssel együtt lineáris funkcionál, de felfogható egy lineáris leképezésként is. Emellett olyan függvényként is tekinthetünk rá, aminek a változója egy vektorrendszer, azaz rendezett vektor n-es.

Egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy az axiómák egyértelműen meghatározzák -t. Azaz, ha van egy másik ilyen típusú függvény, amely szintén teljesíti a fenti négy tulajdonságot, belátható, hogy az azonos -vel. Más megfogalmazásban az adott szabályokkal tetszőleges mátrixhoz egyértelmű értéket tudunk rendelni.

Definició (Leibniz-formulával)[szerkesztés]

Legyen test, függvény és négyzetes mátrix. Jelölje a mátrix -edik sorának -edik elemét. A mátrix determinánsának nevezzük az alábbi formula által hozzárendelt, -val jelölt elemet:

,

ahol:

  • az elemek egy permutációja,
  • pedig a permutáció inverziószáma,
  • a szumma pedig a permutációkra történő összegzés.

Jelölése[szerkesztés]

A determináns néhány szokásos jelölése:

  • a mátrix megadásával: , ill. ;
  • vektorrendszerrel: ;
  • mátrix oszlopvektoraival: ;
  • a mátrixelemek megadásával: , illetve .

Tételek[szerkesztés]

  1. Ha két oszlop megegyezik, akkor a determináns .
    3. axióma: .
    .
    .
  2. Nem változik a determináns, ha az egyik oszlopból egy másik oszlop skalárral vett szorzatát levonjuk/hozzáadjuk.
    2. axióma: .
    1. axióma: .
    1. tétel: .
  3. Ha az egyik oszlop a nullvektor, akkor a determináns is .
    2.tétel: .
    1.tétel: .
  4. Egy oszlop nem nulla skalárral való szorzása, két oszlop felcserélése és egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárral való szorzatának hozzáadása nem változtat a determináns nulla voltán.
    1.axióma: nem nulla skalár kiemelése a determinánst nem nullával szorozza.
    3.axióma: két oszlop felcserélése a determinánst -el szorozza.
    2.tétel: nem változik a determináns ha egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárral való szorzatát adjuk.
  5. A determináns akkor és csak akkor nem , ha lineárisan függetlenek az oszlopvektorok.
    : ha lineárisan összefüggő akkor
    .
    2.tétel: .
    3.tétel: .
    : ha lineárisan független, akkor nem
    A mátrix tetszőleges oszlopában biztos található egy nem nulla elem. Ellenkező esetben az oszlopvektorok lineárisan összefüggenének. Legyen ez az .
    4.tétel: A -edik oszlopot megszorzom az reciprokával. Az új .
    10.tétel,4 tétel: Lenullázzuk a -edik oszlop és -edik sor minden -tól különböző elemét. Kicseréljük a -ediket az -edik oszlopra, ezzel létrehozva az egységvektort a megfelelő helyen. Az átalakítás nem változtat a vektorok lineáris összefüggésén és a meglévő egységvektorokon. Az algoritmust az összes további oszlopra elvégezve kialakítható az egységmátrix, melynek determinánsa , amelyet a nem nulla kiemelt skalárokkal összeszorozva szintén nem nulla lesz az eredmény.
  6. Kifejtési tétel
  7. Ferde kifejtési tétel
  8. Sarrus-szabály
  9. A determinánsra adott két definíció ekvivalens.
    6.tétel: .
    Az mátrix determinánsa n-tagú összegként írható fel, ahol elem a egy elemének determinánsát tartalmazza. A képletben az összes determinánst bontsuk újabb összegekre, az így kapottakat is, és így tovább. Addig, míg mindegyik alakú nem lesz, melynek értéke már triviálisan az . Összesen n-1 lépcsőben kell végrehajtani a kifejtési tételt. Így egy olyan összeget kapunk, amelynek összes tagja az elemek egy produktuma valamilyen előjellel, ahol az elemek egy permutációja. Ezen felül az összes lehetséges permutációhoz tartozó szorzat pontosan egyszer szerepel az előjeles összegzésben:
    .
    Cseréljük meg az szorzatban két egymás melletti tag és indexit. Ezt úgy kell értelmezni, hogy mikor kifejtésnél elérünk a -edik sorba, az -adik oszlopban lévő elem helyett -edikben lévőt választjuk, a . sorból pedig a -edik helyett az -adikban lévőt. Ha rendre az elemekhez tartozó előjel az adott kifejtési sorrendben, akkor az indexcsere után a szorzat -szeresére változik, így a teljes n-tényezős szorzat előjelet vált. Ez összhangban van az permutációjával, s a tag előjelét az inverziószám paritása adja meg:
  10. .
    A Leibniz-formula alakjából következik, hogy nincs semmi különbség sor és oszlop között, mikor a determináns meghatározása a cél. Ennek következménye, hogy az axiomatikus definícióban említett átalakítások és az oszlopokra kimondott tételek sorokra is ugyanúgy érvényesek.
  11. ,
    a determinánsok szorzástétele.
  12. .
    11.tétel: .
    Ha egy mátrixnak 0 a determinánsa, akkor nem invertálható.
  13. .
  14. Hasonló mátrixok determinánsa egyenlő.
    .
  15. Ha egy négyzetes mátrixnak van n darab sajátértéke, akkor .

Szemléletes jelentése[szerkesztés]

A determináns abszolút értéke[szerkesztés]

A vektorok által kifeszített ponthalmazok
2×2-es
2×2-es
3×3-as
3×3-as
Az axiómák szemléltetése
homogenitás
homogenitás
additivitás
additivitás

A determináns abszolút értéke az n db n-dimenziós oszlopvektorok(/sorvektorok) által kifeszített n-dimenziós paralelepipedon n-dimenziós térfogatát adja meg. Ez a vegyes szorzat kiterjesztése magasabb dimenziókra.

  • 2×2-es esetben a mátrix sorai mint sorvektorok által kifeszített paralelogramma területe megegyezik a determináns abszolút értékével.
  • 3×3-as esetben a mátrix sorai mint sorvektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata megegyezik a determináns abszolút értékével.
  • Szemléletes bizonyítás az axiomatikus definíció geometriai megközelítésével:
1.axióma: ha a paralelepipedon egyik oldalának hosszát -szorosára növeljük, akkor térfogata -szeresére nő.
2.axióma:
a, ha tekintünk egy tetszőleges vektort, akkor annak mindig van egy egyértelmű vetülete a többi vektor által kifeszített altérre,
b, így van egyértelmű párhuzamos és merőleges komponense is.
c, Ha ezt a vektort módosítanánk, úgy hogy eltüntetjük a párhuzamos komponensét, nem változna a térfogat, mert az csak a test pontjainak az alappal való párhuzamos nyírásaként értelmezhető.
d, Az eredeti vektort két tetszőleges vektor összegére felbontva a vektorok valamilyen arányban öröklik a párhuzamos és merőleges összetevőket.
e, Ezen két vektorból is eltüntetjük a párhuzamos összetevőket, a merőleges összetevőjük összege pedig az eredeti vektor merőleges összetevőjét adja.
f, Alap szorozva magassággal: .
3.axióma: lényegtelen a paralelepipedont leíró vektorok sorrendje, annak térfogata ettől független, az axióma a determináns abszolút értékét nem változtatja meg.
4.axióma: az n-dimenziós egységkocka térfogata .
  • A determináns transzponálással való viszonyának vizsgálata, azaz az axiómák sorokra alkalmazhatóságának belátása (10.tétel):
1.axióma: ha az egyik bázis nagyságát -szorosára növeljük, akkor -szeresére nyújtjuk a teret, amelyben a paralelepipedon van, így térfogata is -szeresére nő.
2.axióma:
3.axióma: lényegtelen hogy az adott vektor i-edik koordinátáját hova írjuk, míg együtt mozog a többiekével, ugyan azt a testet írják le a térben.
4.axióma: ugyanúgy értelmezhető, mint oszlopvektorok esetén, a szimmetria miatt.
  • 5. tétel szemléletesen:
lineárisan összefüggő vektorrendszer n-nél kisebb dimenziós alteret feszít ki, melynek n-dimenziós térfogata 0.
  • 14. tétel:
egy bázistranszformáció olyan mátrixot ad eredményül, mely ugyan azt a paralelepipedont írja le, csak másik bázisban, azaz a mátrix determinánsa invariáns a bázisreprezentációjával szemben.
  • 15. tétel:
található olyan bázis, melyben a mátrix alakja diagonális. A főátlóbeli elemek a mátrix sajátértékei.

A determináns előjele[szerkesztés]

A determináns előjele az n db n-dimenziós vektorból álló vektorrendszer (rendezett vektor n-es) sodrását adja meg.

  • pozitív: a vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak, más szóval sodrásuk az bázis sodrásával azonos.
  • negatív: a vektorok balsodrású rendszert alkotnak, azaz sodrásuk a bázis sodrásával ellentétes.
  • nulla: n-dimenziós n-db lineárisan összefüggő vektornak vagy n-nél kevesebb vektornak nem értelmezhető a sodrása.

Még szemléletesebben: megadja a választ, hogy ’’beforgatható-e’’ a vektorrendszer a bázis vektorainak irányába úgy, hogy az elsőt az elsőhöz, i-edikhet az i-edikez stb. forgatjuk, miközben a vektor útja nem keresztezheti a többi vektor által kifeszített alteret. Innen látható miért nincs értelme lineárisan összefüggő vagy n-nél kevesebb vektor sodrásáról beszélni. Az előbbi esetben a vektor már a többi alterében van, tehát szigorúan véve útja keresztezi azt. Ebből adódóan bármelyik irányba kiléptethetnénk az altérből az összes ilyen vektort, így ezzel egyszerre lehetne bal és jobb sodrású a rendszer, ami szemléletünkkel ellentétes. Utóbbi esetben értelmetlen az n-nél kevesebb dolog n-el való párosítása, vagy úgy is érthetjük, hogy ugyanannyi vektorból álló tetszőleges rendszerbe mindig átvihető.

  • Az azonos sodrás, mint reláció ekvivalenciareláció. Két tetszőleges, lineárisan független vektorrendszer között lehet értelmezni, nem csak a kanonikus bázishoz viszonyítva. Két ekvivalenciaosztálya van tetszőleges, nem nulla dimenzióban, melyek elemei a bal- és jobbsodrású rendszerek.
  • Vektorrendszer invertálható mátrix általi képének sodrása a transzformáció determinánsától függ, a determinánsok szorzástételét átgondolva:
  • pozitív: nem változik a sodrása;
  • negatív: ellentétes sodrásúvá válik;
  • nulla: invertálható mátrix determinánsa nem lehet nulla (12.tétel).
  • Egyik sodrásból a másikba történő áttérés egyszerű lehetőségei:
  • két vektor sorrendjének megcserélése,
  • vektor ellentétes irányú vektorral való helyettesítése.

Kiszámítása[szerkesztés]

  • Axiomatikusan, az első definíció által biztosított négy szabállyal. Cél az egységmátrix kialakítása. A feladatban alkalmazott hasznos tételek sorszáma: 2, 10. Két kimenetele van:
  • vagy sikerül előállítani az egységmátrixot, melynek már ismert a determinánsa ,
  • vagy kialakítunk egy nullvektort vagy sorban vagy oszlopban, mely mátrixnak szintén ismert a determinánsa .
Első példa:
Második példa:
  • Leibniz-formulával. A determináns eme definíciója nehezen kezelhető, hiszen bár 2×2-re és 3×3-ra léteznek egyszerű kiszámítási módok, a magasabb rendűekre még nem találtak ilyet, a közvetlen definícióból történő kiszámítás pedig már -re is tagot eredményez, esetben pedig már -at; a szumma tagszáma -sal arányos.
  • 1×1 esetben a determináns maga a szám: ,
  • 2×2 esetben, mátrix esetén pedig .
Példa:
  • Kifejtési tétellel: 4×4-es mátrix esetén hatékony eljárás a kifejtési tétel alkalmazása a mátrix valamelyik sorára vagy oszlopára, majd a tétel további alkalmazása helyett a Sarrus-szabály alapján számoljuk ki az aldeterminánsokat.
Példa egy mátrix első sora szerinti kifejtésére:
  • LU felbontással: A 4×4-esnél nagyobb mátrix esetén a mechanikus kiszámítás túl sok művelettel jár, ezért az ún. LU felbontást használják.

Alkalmazása[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975
  • Wettl Ferenc: Lineáris algebra