Prímhatvány

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában, közelebbről a számelmélet és algebra területén a prímhatványok valamely prímszám pozitív egész hatványai. Például: 5 = 51, 9 = 32 és 16 = 24 prímhatványok, míg 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 és 36 = 62 = 22 × 32 egyike sem prímhatvány. Az egyet nem tekintjük prímhatványnak. A prímhatványok sorozata így kezdődik:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, ... (A246655 sorozat az OEIS-ben).

Az 1-nél nagyobb kitevőjű prímhatványok (tehát a prímhatványok a prímszámok nélkül):

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, ... (A025475 sorozat az OEIS-ben).

A prím k-adik hatványok pedig:

k Sorozat száma Prím k-adik hatványok
1 A000040 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
2 A001248 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, ...
3 A030078 8, 27, 125, 343, 1331, 2197, 4913, ...
4 A030514 16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, ...
5 A050997 32, 243, 3125, 16807, 161051, 371293, ...

A prímhatványok olyan pozitív egész számok, melyek pontosan egy prímszámmal oszthatók; a prímhatványokat általánosabb algebrai értelemben, kommutatív gyűrűben prímideálnak tekinthetjük; lásd prímideál-felbontás.

Tulajdonságaik[szerkesztés]

Az algebra területén[szerkesztés]

A prímhatványok prímszámok teljes hatványai. Minden prímhatványnak (2 hatványai kivételével) létezik primitív gyöke modulo n; tehát a modulo pn egészek multiplikatív csoportja (vagy ekvivalensen a Z/pnZ gyűrű egységelemeinek csoportja) ciklikus csoportot alkot.

Véges test elemeinek száma mindig prímhatvány, és megfordítva, minden prímhatvány előáll valamely véges test elemeinek számaként (a véges testre ez a szám izomorfizmusig jellemző).

A kombinatorika területén[szerkesztés]

Az analitikus számelméletben gyakran felhasználják a prímhatványok azon tulajdonságát, hogy a nem prímszám prímhatványok halmaza kis halmaz – abban az értelemben, hogy reciprokainak végtelen sora konvergens – pedig a prímek maguk nagy halmazt alkotnak.

Az oszthatóság területén[szerkesztés]

Az Euler-függvény (φ), valamint a σ0 és σ1 osztóösszeg-függvények prímhatványok esetében a következően számíthatók:

Minden prímhatvány hiányos szám. A pn prímhatvány egy n-majdnem prím. Nem ismert, hogy egy pn prímhatvány lehet-e barátságos szám. Ha van ilyen közöttük, akkor pn-nek nagyobbnak kell lennie 101500-nál, n-nek pedig 1400-nál.

Művészetben[szerkesztés]

Az 1997-es A kocka című filmben a prímhatványok fontos szerepet játszanak, halálos veszélyeket jelölnek a labirintusszerű kockában.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  • Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.