Tükrözés (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egybevágósági transzformációk közül többet is tükrözésnek neveznek. Legismertebb a síkbeli tengelyes tükrözés és pontra tükrözés. Néha a térbeli síkra tükrözés is szóba kerül. Az inverziót körre tükrözésnek is szokás nevezni.

Középpontos tükrözés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenesen értelmezett középpontos tükrözés az egyenes egy P pontját abba a P1 pontba viszi, ami ugyanolyan távol van a középponttól, mint P, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja legyen.

Legtöbbször ennek síkbeli kiterjesztéséről beszélnek. Ekkor a sík egy P pontjának P1 képe az a pont, ami a P pontot a középponttal összekötő egyenesen fekszik, hogy a középpont a PP1 szakasz felezőpontja.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A középpontos tükrözésnek a következő tulajdonságai vannak a síkban:

  • olyan forgatás, aminek szöge 180 fok
    • irányítástartó
  • megadható középpontjával, vagy egy pont-pont képe párral
  • van egy fixpontja: a középpontja
  • invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
  • felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei merőlegesek egymásra, és a középpontban metszik egymást
  • a transzformációszorzásban eltolással szorozva középpontos tükrözést ad
  • két középpontos tükrözés szorzata eltolás

Tengelyes tükrözés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tengelyes tükrözés az a transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés tengelyére bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Síkban a tengely a PP1 szakasz felezőmerőlegese. Térben a szakasz felezőmerőleges síkjában helyezkedik el.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A síkban:

  • irányításváltó
  • megadható tengelyével vagy pont - pont képe párral
  • fixegyenese a tengelye
  • invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
  • egy tengelyes tükrözés a tengelyes tükrözések közül csak önmagával vagy rá merőleges tengelyű tükrözéssel cserélhető fel
  • önmagával vett szorzata identitás
  • három, egy ponton átmenő tengelyű, vagy párhuzamos tengelyű tükrözés szorzata tengelyes tükrözés
    • ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető egymással
  • három, páronként egymást metsző tengelyű tükrözés szorzata csúsztatva tükrözés
  • két tengelyes tükrözés szorzata
  • páros számú tengelyes tükrözés szorzata nem írható fel páratlan számú tengelyes tükrözés szorzataként
  • a sík összes transzformációja előáll legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként

A térben:

  • irányítástartó
  • 180 fokos forgatás a tengely körül
  • megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
  • önmagával vett szorzata identitás
  • megadható tengelyével
  • fixegyenese a tengelye
  • invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
  • egy egyenes képe abban a pontban metszi a tengelyt, amiben az egyenes is metszi
  • a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak a tengellyel, és tengelytől vett távolságuk megegyezik az eredeti egyenesek tengelytől mért távolságával
  • három párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzata tengelyes tükrözés

Tengelyes szimmetria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a síkban, ha van tengely, amire tükrözve önmagába megy át. Ilyen például az egyenlő szárú háromszög, a húrtrapéz, a deltoid, a rombusz, a téglalap, a kör.

Síkra tükrözés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Síkra tükrözés az a (téren értelmezett) transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P1 pont, ami a P pontból a tükrözés síkjára bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Ekkor a tükrözés síkja a PP1 szakasz felező merőleges síkja.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Irányításváltó
  • Egyértelműen megadható a tükrözés síkjával, vagy egy pont-pont képe párral
  • A tükrözés síkja fix
  • A tükrözés síkjára merőleges egyenesek, síkok invariánsak
  • A tükrözés síkjával párhuzamos egyenes, sík képe párhuzamos az eredeti egyenessel, síkkal
  • A tükrözés síkját metsző egyenes, sík képe ugyanabban a pontban metszi a síkot, mint az eredeti egyenes, sík
    • Ekkor a tükrözés síkja az eredeti és a képsíkok szögfelező síkja
  • Önmagával vett szorzata az identitás
  • Három közös egyenesen átmenő, vagy párhuzamos síkra vett tükrözés szorzata síkra vett tükrözés, és ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
  • A tér bármely egybevágósága előáll legfeljebb négy síkra tükrözés szorzataként
  • Páros számú síkra tükrözés szorzata nem fejezhető ki páratlan számú síkra tükrözés szorzataként
  • Két síkra tükrözés csak akkor cserélhető fel, ha síkjaik merőlegesek egymásra, vagy megegyeznek

Algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Síkban a tengelyes tükrözések, térben a síkra tükrözések generálják a hasonlósági transzformációk csoportját.

Lineáris algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A síkban (az origón átmenő) egyenesre, a térben (origón átmenő) síkra tükrözés mátrixa −1 determinánsú ortogonális mátrix.

A síkban az origón átmenő, az x tengely pozitív felével \vartheta szöget bezáró egyenesre tükrözés mátrixa:

 \mathrm{Ref}(\vartheta) = \begin{bmatrix} \cos 2 \vartheta & \sin 2 \vartheta \\
\sin 2 \vartheta & - \cos 2 \vartheta \end{bmatrix}.

A koordinátasíkokra, koordinátatengelyekre, origóra tükrözés mátrixai a térben:

az YZ koordinátasíkra:

 \mathrm{Ref}(YZ) = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

az X tengelyre:

 \mathrm{Ref}(X) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{bmatrix}.

az origóra:

 \mathrm{Ref}(O) = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\
0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{bmatrix}.

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csúsztatva tükrözés: felírható egy tükrözés és egy eltolás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan eltolás és tükrözés, hogy az eltolás iránya párhuzamos legyen a tükrözés tengelyével vagy síkjával. Felírható három tengelyes vagy síkra tükrözés szorzataként. Mátrixa ‒1 determinánsú ortogonális mátrix. A sík minden irányításváltó egybevágósági transzformációja csúsztatva tükrözés.

A tükrözés speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban az eltolás az identitás.

Forgatva tükrözés: felírható egy síkra tükrözés és egy tengelyes forgatás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan forgatás és tükrözés, hogy a forgatás tengelye merőleges legyen a tükrözés síkjára.

A síkra tükrözés speciális forgatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban a forgatás az identitás.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]