Bijekció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
bijektív függvény

A matematikában bijekciónak vagy bijektív leképezésnek nevezzük azokat a leképezéseket, amelyek egyidejűleg injektívek és szürjektívek. Más szavakkal azt is mondhatjuk, hogy a bijektív leképezések kölcsönösen egyértelmű ráképezések. Amennyiben emellett a leképzés értelmezési tartománya megegyezik azzal a halmazzal amiből képez le (tehát a halmaz összes eleméhez rendel elemet), akkor bijekció olyan megfeleltetést létesít két halmaz között, aminél az egyik halmaz minden egyes elemének a másik halmaz pontosan egy eleme felel meg, és fordítva.

Definíció[szerkesztés]

Legyen tetszőleges halmazok és képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy bijekció, ha

  • tetszőleges és esetén , valamint
  • minden -re létezik úgy, hogy ,

azaz ha injekció és szürjekció is egyszerre.

Példák[szerkesztés]

  • Az egész számok halmazán értelmezett függvény bijekció.
  • Tetszőleges halmazra az identikus megfeleltetés bijektív leképezés.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Injekcióból és szürjekcióból képezett bijekció.
  • Ha az függvény bijektív, akkor a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény és egyúttal bijektív leképezés.
  • Ha az leképezések bijektívek, akkor a kompozíciójuk is bijektív leképezés.
  • Ha az függvénykompozíció bijektív leképezés, akkor a leképezés szürjekció és az leképezés injekció.
  • Ha véges halmazok és , továbbá leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:
    • bijekció.
    • szürjekció.
    • injekció.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)