Affin transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk és az eltolás is.

Descartes-koordinátarendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Descartes-koordinátarendszert feltételező esetben az affin transzformációk általános alakját a következő képpen írhatjuk fel:


\overset{ \text{Transzformált koordináták}}
 {\begin{bmatrix}
     \color{Blue} X^{'}, & \color{Blue} Y^{'}, & \color{Blue} Z^{'} \\
  \end{bmatrix}}
=

  \overset{\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}
 \color{Red}X,  & \color{Red}Y,  & \color{Red}Z \\
  \end{bmatrix}} \cdot

\overset{ 3\times 3 \text{ mátrix}}{
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13}  \\
A_{21} & A_{22} & A_{23}  \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}  \\
\end{bmatrix}}
+
\overset{ P \text{ Vektor}}
 {\begin{bmatrix}
     P_x , & P_y , & P_z \\
  \end{bmatrix}}

Ahol az 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, fordítás, billentés, csavarás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Homogén koordinátákkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:


\overset{ \text{Transzformált koordináták}}
 {\begin{bmatrix}
     \color{Blue} X^{'}, & \color{Blue} Y^{'}, & \color{Blue} Z^{'}, & \color{Blue} 1 \\
  \end{bmatrix}}
=

  \overset{\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}
 \color{Red}X,  & \color{Red}Y,  & \color{Red}Z,  & \color{Red}1 \\
  \end{bmatrix}} \cdot

\overset{ 4 \times 4 \text{ mátrix}}{
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} & 0\\
A_{21} & A_{22} & A_{23} & 0\\
A_{31} & A_{32} & A_{33} & 0\\
P_x , & P_y , & P_z & 1\\
\end{bmatrix}}

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Affin transzformáció témájú médiaállományokat.