Homogén koordináták

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az olyan koordináta-rendszereket nevezik homogénnek, amelyekben a pontot azonosító rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva ugyanazt a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk.

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók.

Fontosabb típusok[szerkesztés]

  • Projektív koordináták.
  • Súlyponti (baricentrikus) koordináták.
  • Plücker-féle derékszögű homogén koordináták.

A projektív koordináta-rendszer az általános, a többi ennek speciális esete. (A magyar geometria tankönyvek egy része a nemzetközi terminológiával nem lévén összhangban, a Plücker-féle koordinátákat és csak ezeket nevezik homogénnek! )

Az egyenes (1D-tér) projektív koordinátái[szerkesztés]

Proj-koor-01.gif

A projektív rendszert az egyenesen kívüli pontból induló két bázis-vektorral - - adjuk meg. A két bázis egy tetszőleges lineáris kombinációja egy olyan vektort ad meg, aminek egyenese az adott egyenest egy pontban metszi.

Definíció: Az rendezett pár elemei a pont koordinátái.

A definíció következménye: , mert a szorzó az és az vektor-komponenseket és ezzel a eredőt arányosan nyújtja meg. A vektor egyenese nem változik, ugyanazt a pontot jelöli ki.

Proj-koor-02.gif

Súlyponti koordinátákat akkor kapunk, ha a bázisvektorok "végpontja" az egyenesre esik.

Proj-koor-03.gif

Az egyenes Plücker-féle koordinátáit az egyenesre merőleges és párhuzamos, egyenlő hosszúságú bázis-pár szolgáltatja.

Egységpont: A bázis-vektorok összege olyan pontot jelöl ki, melynek koordinátái

A koordináta-rendszer az egyenes három (különböző) pontjának kijelölésével egyértelműen megadható:

  • .

A sík (2D-tér) projektív koordinátái[szerkesztés]

Proj-koor-04.gif

Az egyeneshez hasonlóan a sík koordináta-bázisát is egy külső pontból indítjuk. A különbség csupán a dimenzióban van. A síkbeli pontot a bázis lineáris kombinációjával adott eredő-vektor egyenese döfi ki. A pontkoordináták eszerint:

  • .

Proj-koor-05.gif

A bázistól függetlenül is (anélkül, hogy a síkból kilépnénk) megadható a koordináta-rendszer a három alappont és az egységpont kitűzésével: . (Kikötés: A négy pont hármasával nem eshet egy egyenesbe!)

Proj-koor-06.gif

A súlyponti és a derékszögű homogén (az ábrán) koordináták ugyanúgy adódnak, mint az egyenesnél.

A 3D-tér projektív koordinátái[szerkesztés]

Proj-koor-07.gif

A térben a koordináta-rendszert a négy alappontjával (tetraéder) és az egységponttal tűzhetjük ki:

  • .

A súlyponti rendszer egységpontját az alaptetraéder geometriai súlypontjában kell felvenni. A térbeli Plücker-féle rendszer alappontjai és egységpontja a Descartes-rendszerével esnek egybe.

Rácspontok[szerkesztés]

Az egyenes projektív rácspontjai azok, amelyeknek koordinátáinak hányadosa egész szám. Mivel a hányados (arány) nem kommutatív, kétféle rácspont-sorozatot kapunk. Az egyik az

A másik a reciprok rácsok sorozata

Proj-koor-08.jpg

A (piros) projektív skála rácspontjai megfelelnek egy centrálisan vetített (kék) számegyenes rácspontjainak. A sík projektív rácspontjai és a rácsvonalak alkotják a Möbius-hálót, mely a perspektivikus térábrázolásban játszik szerepet.

Irodalom[szerkesztés]

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
  • Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
  • Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai - ELTE-Mikrológia 43, 2002.