Affin geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika, azon belül a geometria területén használatos az affin geometria fogalma. Két ekvivalens módon is bevezethető.[1]

Szemléletesen fogalmazva az affin geometria az euklideszi geometriából adódik a metrikus fogalmak, azaz a távolságok és szögek elhagyásával. Mivel a párhuzamosság az egyik legalapvetőbb metrikafüggetlen fogalom, az affin geometriát gyakran a párhuzamosok vizsgálatával azonosítják. Az affin geometriában alapvető a Playfair-axióma, vagyis az az állítás, hogy egy adott e egyeneshez és P ponthoz pontosan egy olyan egyenes létezik, amely párhuzamos e-vel és áthalad P-n. Az alakzatok összehasonlítása az affin geometriában az affin transzformációk segítségével történik.

Másfelől a lineáris algebrára alapozva is bevezethető az affin geometria. Ebben az esetben az affin tér egy ponthalmaz és egy transzformációhalmaz alkotta rendezett pár. A transzformációk bijektív leképezések oly módon, hogy minden (P, Q) pontpárra létezik egyértelműen egy transzformáció, amely a P pontot a Q pontra képezi le. A transzformációk a függvénykompozíció műveletével vektorteret alkotnak valamely test, jellemzően a valós számtest felett.

Axiomatikus Definíció[szerkesztés]

Affin geometriának nevezzük az olyan és (pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett rendezett párokat, amelyekre adott egy (metszési) reláció, valamint egy (párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal: [2]

  1. Két különböző és pontra pontosan egy olyan egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz és egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás egyenesként is emlegetni.
  2. Minden egyenes legalább két pontot metsz.
  3. A párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció.
  4. Egy adott ponthoz és adott egyeneshez pontosan egy olyan egyenes létezik, amely metszi az pontot és párhuzamos az egyenessel.
  5. Ha adott egy háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két és úgy, hogy az egyenes párhuzamos az egyenessel, akkor létezik egy olyan pont, amelyre az egyenes párhuzamos az egyenessel és a egyenes párhuzamos a egyenessel.

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Artin, Emil (1988), Geometric algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, ISBN 0-471-60839-4 (Reprint of the 1957 original; A Wiley-Interscience Publication)
  2. Ewald, Günter (1974), Geometrie: Eine Einführung für Studenten und Lehrer, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 978-3525405369