Funkcionálanalízis
Matematika |
---|
A matematika alapjai |
Algebra |
Analízis |
Geometria |
Számelmélet |
Diszkrét matematika |
Alkalmazott matematika |
Általános |
A funkcionálanalízis a matematikai analízis olyan részterülete, amely elsősorban olyan vektortereket vizsgál, melyek el vannak látva egy határértékhez köthető struktúrával, mint például skaláris szorzattal, normával vagy topológiával. Történelmileg a funkcionálanalízis kiindulópontja a függvényterek és a rajtuk definiált transzformációk (mint például a Fourier-transzformáció) tulajdonságainak elemzése volt. Ebből kiindulva vetődtek fel olyan kérdések, hogy funkcionálok és függvényterek közötti operátorok számára hogyan lehet általánosítani olyan fogalmakat, mint a folytonosság vagy a derivált. A modern funkcionálanalízist bevezető irodalom általában a topológiával ellátott vektorterek, főleg végtelen dimenziós terek, vizsgálatával foglalkozó területnek írja le.[1][2]
A funkcionál szó a variációszámításból ered, melynek jelentése olyan függvény, melynek a változója is egy függvény. Ez a koncepció először Vito Volterra olasz matematikus által lett bevezetve 1887-ben, de a funkcionál kifejezés elsőként Jacques Hadamard 1910-as könyvében jelent meg.[3][4] A funkcionálanalízis területét ezt követően olyan matematikusok bővítették ki, mint Fréchet, Lévy, továbbá a Banach körül szerveződött Lwówi matematikai iskola tagjai. Ismert magyar és magyar származású kutatói közé tartozik Riesz Frigyes, Neumann János, Haar Alfréd és Szőkefalvi-Nagy Béla.
Az analízisben fellelhető fogalmak általánosítása mellett a funkcionálanalízis a lineáris algebra, a mértékelmélet és a valószínűségszámítás bizonyos eredményeit is próbálja kiterjeszteni, kifejezetten végtelen dimenziós terekre. A függvényterek közötti operátorok vizsgálata különös fontossággal bír például differenciálegyenletek megoldásakor.
Topologikus vektorterek
[szerkesztés]Általánosságban, a funkcionálanalízis a topologikus vektorterek leírásával foglalkozik. Az egyik leggyakrabban alkalmazott feltétel, hogy a vektortér lokálisan konvex legyen, mely definiálható félnormák családjával. A lokálisan konvex topologikus vektortereknek egy jelentős alosztálya a Fréchet-terek osztálya. A funkcionálanalízis topologikus vektortereket illető fontosabb eredményei közé tartozik a Hahn–Banach-tétel, a Baire-tétel és a Banach–Steinhaus-tétel.
Normált-terek
[szerkesztés]A lokálisan konvex topologikus vektorterek legfontosabb alosztálya, továbbá időrendben az első struktúra, melyet a funkcionálanalízis kezdett vizsgálni, az olyan normált vektorterek valós vagy komplex számtestek felett, melyek teljesek, tehát melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens. Az ilyen tereket Banach tereknek hívjuk. A Banach-terek egy fontos alosztálya a Hilbert-terek osztálya, ahol a normát egy skaláris szorzat indukálja. A Hilbert-terek rendkívül fontosak a kvantummechanika matematikai leírásában, a gépi tanulásban, a parciális differenciálegyenletek és a Fourier-analízis területén.
Hilbert-terek
[szerkesztés]Egy Hilbert-tér szerkezetét egyértelműen meghatározza a dimenziója: az ortonormált bázis minden számosságához tartozik egy olyan Hilbert tér, mely izomorfizmusig bezárólag egyedi.[5] A véges dimenziós Hilbert-terek teljesen leírhatóak a lineáris algebra segítségével, míg például bármely végtelen dimenziós szeparálható Hilbert-tér izomorf az sorozattérrel.
A funkcionálanalízis egyik fő nyílt kérdése annak a feltételezésnek a bizonyítása, hogy bármely szeparálható Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátornak van-e nem-triviális invariáns altere. A probléma megoldására 2023–24-ben több bizonyítás is megjelent.[6][7][8]
Általános Banach-terek
[szerkesztés]Általánosságban a Banach-terek összetettebbek, mint a Hilbert terek, és nem lehet őket ilyen egyszerű módon osztályozni. Ennek fő oka, hogy a Banach-terek nem feltétlen rendelkeznek ortonormált bázissal.
A Banach-terek ismertebb példái az -terek bármely természetes számra. Adott halmazon egy mérték, akkor (vagy más jelöléssel vagy ) vektorai olyan mérhető függvények ekvivalenciaosztályai, melyekre teljesül
tehát -edik hatványuk Lebesgue-integrálható. Amennyiben egy számlálómérték, az integrál helyettesíthető összeggel, tehát
Ebben az esetben nem szükséges ekvivalenciaosztályokat vizsgálni, továbbá a teret -ként jelöljük.
A Banach-terek vizsgálatában egy rendkívül fontos eszköz a duális tér, mely azon folytonos lineáris leképezések tere, melyek értelmezési tartománya a Banach-tér, értékkészlete pedig a számtest, ami felett a Banach-teret definiáltuk. Ezeket a leképezéseket hívjuk funkcionálnak. Egy Banach-tér kanonikusan beágyazható a biduális terébe, tehát a duális terének duális terébe. Viszont ez nem zárja ki annak lehetőségét, hogy a biduális térben legyen olyan vektor, melynek az eredeti Banach-térben nincs megfelelője. Ez a lehetőség akkor zárható ki, ha a Banach-tér reflexív, tehát ha a beágyazás szürjektív.
Banach-tereken definiált függvényekre általánosítható a derivált fogalma, melyet Fréchet-deriváltnak hívunk.
Operátorok és Banach-algebrák
[szerkesztés]A funkcionálanalízis hasonlóan fontos területe a topologikus vektortereken definiált folytonos lineáris operátorok vizsgálata. Míg a Banach-terek a véges dimenziós vektorterek általánosításaként szolgálnak, addig a rajtuk definiált folytonos lineáris operátorok a lineáris algebrában alkalmazott mátrixok fogalmát terjesztik ki. Egy mátrix diagonalizálása, tehát felbontása sajátvektorainak és sajátértékeinek segítségével a funkcionálanalízisben a spektrális tétel alkalmazásaként jelenik meg Hilbert-tereken definiált önadjungált operátorokon. Ez az általánosítás rendkívül fontos a kvantummechanika matematikai leírásában, ugyanis az operátorok megfigyelhető mennyiségeknek, a spektrális felbontásukban megjelenő sajátvektorok pedig a rendszer kvantumállapotainak felelnek meg.
Mivel az operátorok tere vektorteret alkot, a kompozíciójuk pedig szintén egy operátor, így az operátorok egy asszociatív algebrát alkotnak. Az operátorok tere teljes az operátornormára tekintve, így Banach-tér. Mivel az operátornormára és az operátorkompozícióra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, tehát bármely és operátorra teljesül , így az operátorok Banach-algebrát alkotnak. A Banach-algebrák egy fontos alosztálya a C*-algebrák osztálya, mely további struktúrával van ellátva.
A Haar-mérték szerint integrálható függvények terét egy lokálisan kompakt csoporton -vel jelöljük, amely a konvolúció műveletével együtt Banach-algebrát alkot. Ez az algebra az alapja a harmonikus analízis kiterjesztésének a lokálisan kompakt csoportok elméletére. Ebben a megközelítésben a Fourier-transzformáció a Banach-algebraelméletben vizsgált Gelfand-transzformáció speciális esete.
Legfontosabb eredményei
[szerkesztés]A funkcionálanalízissel foglalkozó szakirodalom általában három tételt nevez meg a terület alappilléreinek: a Banach–Steinhaus-tételt, a Banach-féle nyílt leképezés tételt és a Hahn–Banach-tételt.[9][10] Bizonyos szerzők a zárt gráftételt is a fundamentális tételek közé sorolják.[11]
Banach–Steinhaus-tétel
[szerkesztés]A Banach–Steinhaus-tétel, vagy másképp az egyenletes korlátosság tétele kimondja, hogy egy folytonos és lineáris (tehát korlátos) operátorcsalád számára, melynek értelmezési tartománya egy Banach-tér, a pontonkénti korlátosság ekvivalens az egyenletes korlátossággal az operátornormában. A tételt először Banach és Steinhaus publikálta 1927-ben, viszont tőlük függetlenül Hans Hahn is bizonyította. A tétel pontos megfogalmazása a következő:
Legyen egy Banach-tér és egy normált tér, egy korlátos operátorcsalád és között. Ha minden -re teljesül
- ,
akkor
- .
Hahn–Banach-tétel
[szerkesztés]A Hahn–Banach-tétel a funkcionálanalízis egyik fő eszközének tekinthető, ugyanis azokat a feltételeket sorolja fel, melyek teljesülésével egy vektortér valamilyen lineáris alterén értelmezett korlátos lineáris funkcionált lehetséges az egész vektortérre kiterjeszteni. A tétel a következő:
Legyen egy valós vektortér, pedig egy lineáris altér. Ha egy szublineáris függvény és egy lineáris funkcionál, melyre teljesül minden -ra, akkor létezik egy olyan lineáris funkcionál, mely kiterjesztése egészére (tehát ) úgy, hogy közben minden -re teljesül .
A tétel fontos következménye, hogy bármely (akár végtelen-dimenziós) normált vektortéren létezik nem-triviális folytonos funkcionál, mely lehetővé teszi tetszőleges normált terek duális terének vizsgálatát.
Nyílt leképezés tétel
[szerkesztés]A nyílt leképezés tétel, vagy más néven a Banach–Schauder-tétel kimondja, hogy ha egy Banach-terek közötti folytonos lineáris operátor szürjektív, akkor egy nyílt leképezés. Nyílt leképezésnek olyan leképezést hívunk topologikus terek között, ha az értelmezési tartományának minden nyílt részhalmazának képe is nyílt.
A tétel pontos megfogalmazása a következő: ha és Banach-tér, pedig egy szürjektív folytonos lineáris operátor, akkor egy nyílt leképezés.
Amennyiben és tetszőleges normált terek, a tétel nem teljesül általánosságban, viszont Fréchet-terekre igen.
A tétel bizonyításának alapja a Baire-féle kategóriatétel, mely kimondja, hogy egy teljes (pszeudo)metrikus térben megszámlálhatóan sok sűrű nyílt halmaz metszete is sűrű.[12]
Zárt gráf tétel
[szerkesztés]Egy függvény grafikonja (vagy gráfja) a halmaz. Legyenek és metrikus terek. Az függvényt akkor nevezzük zárt leképezésnek, ha zárt részhalmaza -nak. A zárt gráf tétel kimondja, hogy ha és Banach-terek és egy zárt lineáris operátor, akkor folytonos.
A tételnek létezik egy topológiában gyakrabban alkalmazott verziója is: legyen egy topologikus tér, pedig egy kompakt Hausdorff-tér. Az függvény akkor és csak akkor zárt, ha folytonos.[13]
Alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldásában
[szerkesztés]A funkcionálanalízis fontos alapot ad bizonyos parciális differenciálegyenletek megoldásához. Ezek az egyenletek gyakran írhatóak a formába, ahol a keresett függvény, egy ismert függvény egy halmazon, pedig egy differenciáloperátor. Az egyenlethez tartoznak peremfeltételek is, mely leírja az függvényt a vizsgált értelmezési tartomány peremén, azaz a halmazon. A peremfeltétel fizikai értelemben megfelelhet mondjuk egy húr két kifeszített végének vagy egy dobbőr peremének, ahol a rezgések mértéke elhanyagolhatóan kicsi. Differenciáloperátor például a Laplace-operátor, amely megjelenik többek között a hullámegyenletben vagy a hővezetési egyenletben.
A differenciáloperátor tekinthető egy differenciálható függvények tere közötti operátornak, például a Laplace-operátor a kétszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett, értékkészlete pedig az -n értelmezett folytonos függvények tere. Egy általánosabb differenciálhatóság-fogalomra áttérve (például disztribúciókat vagy a gyenge derivált fogalmát alkalmazva) a differenciáloperátort értelmezhetjük Szoboljev-terek közötti operátorként. Ilyen operátorok számára fontos esetekben léteznek tételek, melyek a hozzájuk tartozó parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezését és egyediségét bizonyítja. A funkcionálanalízis módszereivel olyan kérdéseket is lehetséges vizsgálni, hogy a megoldás hogyan függ az egyenletben található függvénytől. Ilyen például a regularitás kérdése, mely azt vizsgálja, hogy simasági tulajdonságai milyen hatással vannak simasági tulajdonságaira. Az ilyen jellegű problémák is általánosíthatóak a disztribúciók terére. Például, ha a delta-disztribúcióval egyenlő, és az egyenlet megoldása (ezt fundamentális megoldásnak hívják) ismert, akkor konvolúció segítségével számos más függvényre is levezethető a megoldás.
Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem adható meg zárt formában, akkor hasznos numerikus módszerekkel közelítő megoldásokat keresni, például a végeselemes módszer segítségével. A funkcionálanalízis bizonyos módszerei (például a Galjorkin-módszer) alapvető szerepet játszanak a közelítő megoldások konstrukciójában és a közelítés minőségének meghatározásában.
Kapcsolata a matematika alapjaihoz
[szerkesztés]A funkcionálanalízisben vizsgált legtöbb tér végtelen dimenziós. Ahhoz, hogy ilyen tereken definiáljunk egy bázist, gyakran szükséges a Zorn-lemma, mely segítségével lehetséges végtelen dimenziós vektortereket Hamel-bázissal ellátni. Alternatívaként szolgál a Schauder-bázis, amely a funkcionálanalízisben gyakrabban alkalmazott. A Hahn–Banach-tétel bizonyításához általában a kiválasztási axióma használatos, bár elegendő hozzá a gyengébb Boole-féle prímideál tétel. A Baire-féle kategóriatételhez, mely a funkcionálanalízis több tételének bizonyításához szükséges, szintén szükséges a kiválasztási axióma.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ An introductory course in functional analysis. Springer Science & Business Media, 1. o. (2014)
- ↑ Kadets, Vladimir. A Course in Functional Analysis and Measure Theory. Springer Publishing, xvi. o. (2018)
- ↑ Lawvere, F. William: Volterra's functionals and covariant cohesion of space. acsu.buffalo.edu . Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. [2003. április 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. június 12.)
- ↑ History of Mathematical Sciences. WORLD SCIENTIFIC, 195. o.. DOI: 10.1142/5685 (2004. október 1.). ISBN 978-93-86279-16-3
- ↑ Riesz, Frigyes. Functional analysis, Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron, Dover, New York: Dover Publications, 195–199. o. (1990. december 7.). ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994
- ↑ Enflo, Per H. (2023-05-26). "On the invariant subspace problem in Hilbert spaces". arXiv:2305.15442 [math.FA].
- ↑ Neville, Charles W. (2023-07-21). "a proof of the invariant subspace conjecture for separable Hilbert spaces". arXiv:2307.08176 [math.FA].
- ↑ Khalil, Roshdi; Yousef, Abdelrahman; Alshanti, Waseem Ghazi; Hammad, Ma’mon Abu (2024. szeptember 2.). „The Invariant Subspace Problem for Separable Hilbert Spaces” (angol nyelven). Axioms 13 (9), 598. o. DOI:10.3390/axioms13090598. ISSN 2075-1680.
- ↑ Krantz, Steven G.. A Guide to Functional Analysis. American Mathematical Society (2013). ISBN 978-0883853573
- ↑ MacCluer, Barbara. Elementary Functional Analysis, Graduate Texts in Mathematics. Springer New York (2009). ISBN 978-0-387-85529-5
- ↑ Edwin, Hewitt; Karl R., Stromberg. Real and Abstract Analysis – A modern treatment of the theory of functions of a real variable. Springer Verlag Berlin (1965). ISBN 978-3-662-29794-0
- ↑ Kelley, John L.. General Topology, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer Science & Business Media (1975). ISBN 978-0-387-90125-1
- ↑ Munkres, James R.. Topology (angol nyelven). Prentice Hall, Incorporated, 171. o. (2000. december 7.). ISBN 978-0-13-181629-9
Források
[szerkesztés]- V. Hutson, J. S. Pym, Michael J. Cloud. Applications of functional analysis and operator theory, Mathematics in science and engineering (angol nyelven). Amsterdam ; Boston: Elsevier (2005)
- Tarcsay, Zsigmond. Funkcionálanalízis (2018). ISBN 978-963-489-091-1
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Functional analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Funktinalanalysis című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Lásd még
[szerkesztés]- Functional analysis az Encyclopedia of Mathematics oldalon angol nyelven (2001)
- Funkcionálanalízis témájú előadássorozat a University of Colorado, Colorado Springs egyetemen, Greg Morrow előadásában