Affin koordináták

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Affin koordináták véges dimenziós euklideszi térben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az affin koordináta fogalma az affin geometria tárgykörébe tartozik, de értelmezhető euklideszi terekben is. A hagyományos  \mathbb{E} euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy O pontot, az origót, és tetszőleges P \in E pontot azonosítjuk a  \underline{p} = \vec{O\! P} helyvektorral.

Definíció: Legyenek adottak a  \left( B_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots , n)} = \left( B_{1} , B_{2},\cdots, B_{n} \right) \in E^{n} pontok – a B elnevezés arra utal, hogy ezek a bázispontok. Ha vannak olyan  \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots ,n)}  = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},\cdots, \alpha _{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} valós számok – skalárok vagy együtthatók – melyekre teljesül valamely P \in E pont esetén, hogy P a bázispontok fenti együtthatókkal vett affin kombinációja legyen, azaz

 \vec{O\!P} = \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i} \vec{O\!B_{i}} } = \alpha_{1} \vec{O\!B_{1}} + \alpha_{2} \vec{O\!B_{2}} +\cdots+ \alpha_{n} \vec{O\!B_{n}} ,



rövidebben írva (ha az O pont rögzítve van, egyértelmű, nem változik)

 \underline{p} = \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i} \underline{b_{i}} } = \alpha_{1} \underline{b_{1}} + \alpha_{2} \underline{b_{2}}+\cdots+\alpha_{n} \underline{b_{n}}  ,


akkor az  \left( \alpha_{i} \right) _{i \in \left\{ 1,2,\cdots,n \right\} } = \left( \alpha_{1}, \alpha_{2} , \cdots , \alpha_{n} \right) együtthatókat (ti. ezek fenti rendezett n-esét) a P pontok affin koordinátáinak nevezzük a  \left( B_{1}, B_{2}, \cdots , B_{n} \right) bázispontokra nézve.


Megjegyzés I. : Az előbbi definícióban a B_{i} pontok köré írt zárójel nem hagyható el és nem cserélhető kapcsos zárójelre, mivel a bázispontok itt nem halmazt, hanem rendezett n-est kell hogy alkossanak, az affin koordináták ebben az értelemben függnek a bázispontok sorrendjétől;
Megjegyzés II. : Nem nehéz belátni, hogy tetszőleges véges dimenziós euklideszi térben viszont az affin koordináták függetlenek a kezdőpont megválasztásától;
Megjegyzés III. : Az affin kombináció szócikkben részletesen is foglalkoztunk azzal, hogy n-dimenziós euklideszi térben pontosan n+1 független bázispont kell ahhoz, hogy minden pont előállítható legyen ezek egy affin kombinációjaként, azaz ennyi független bázispont teljesen „bekoordinátázza” a teret, mégpedig úgy, hogy a kérdéses koordináták egyértelműek.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]