Ekvivalenciareláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Definíció[szerkesztés]

Legyen tetszőleges reláció az halmazon. Azt mondjuk, hogy a reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

  • a reláció reflexív, azaz minden esetén teljesül,
  • a reláció szimmetrikus, azaz minden esetén ha teljesül, akkor is teljesül,
  • a reláció tranzitív, azaz minden esetén ha és teljesül, akkor is teljesül.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha teljesül.
  • Fordítva: valamely halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

Példák[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994