Reflexív reláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Venn-diagram egy reflexív ρ relációról, piros vonal jelöli az egyenlőségi relációt

Reflexív relációnak nevezünk egy homogén kétváltozós relációt, ha a reláció alaphalmazának minden eleme relációban áll önmagával.


Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A tetszőleges halmaz. Az A halmazon értelmezett ρ reláció reflexív, ha bármely aA esetén érvényes

aρa.

Másképpen:

EA⊆ρ,

ahol EA az A halmazon értelmezett egy(enlő)ségreláció.

Formulákkal:

jelölésmód formula
infix ∀a∈A (aρa)
prefix ∀a∈A: ρ(a,a)
halmazalgebrai EA⊆A

Ekvivalens tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Könnyen igazolható, hogy ugyanezt a fogalmat adják meg a következő tulajdonságok: ρ reflexív akkor és csak akkor, ha

  1. ∀a∈A: aρa;
  2. ∀a∈A: a∈ρ[a];
  3. ∀a∈A: a∈ρ-1[a];
  4. ∀a∈A: a∈R(ρ); ahol R(ρ) a ρ reláció értékkészlete;
  5. ∀a∈A: a∈ρo(a); ahol ρo(a) a reláció ún. „önbelseje” [1];
  6. EA⊆A

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerű példák és ellenpéldák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ilyen például

Nem ilyen

  • az egyenesek merőlegessége (mert egyetlen egyenes se merőleges önmagára),
  • a halmazok között a valódi részhalmaz reláció (mert egyetlen halmaz se valódi részhalmaza önmagának).

További példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ρo(a) := { b∈A | ρ[b]⊂ρ[a] }